Виртуальное моделирование теории случайных блужданий на примере броуновского движения

Виртуальное моделирование теории случайных блужданий на примере броуновского бвижения

 

Методические указания к виртуальному

эксперименту

 

Ростов-на-Дону

 

Составители: Ю.М.Наследников, А.П.Кудря, А.В.Касьянов, Н.Я.Егоров

 

УДК 530.1

 

Виртуальное моделирование теории случайных блужданий на примере броуновского движения. Метод. указания / Издательский центр ДГТУ.Ростов-на-Дону. 2003. 12с

 

 

Указания содержат краткое изложение теории броуновского движения, описание виртуального эксперимента с броуновскими частицами, порядок выполнения работы. Показана общность теории случайных процессов не только в естествознании, но и в финансовой статистике и экономике.

Методические указания предназначены для студентов младших курсов, изучающих физику или дисциплину «Концепции современного естествознания».

 

Печатается по решению методической комиссии факультета

«Автоматизация и информатика»

 

Научный редактор: проф., д.т.н. В.С.Кунаков

 

 

© Издательский центр ДГТУ, 2002

Виртуальное моделирование теории случайных блужданий на примере броуновского движения

 

Цель работы: Исследование броуновского движения в рамках виртуального моделирования беспорядочных столкновений молекул о броуновскую частицу. Демонстрация общности теории случайных блужданий как одного из типов случайных процессов в физике и в финансовой экономике.

Оборудование: персональный компьютер с программным обеспечением модели броуновского движения и выводом его на экран монитора.

 

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

 

В 1829 году ботаник Р. Броун, наблюдая под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыль, обнаружил, что частицы пыли находятся в непрерывном беспорядочном движении. Закономерности, связанные с броуновским движением, были обоснованы теоретически А. Эйнштейном в 1905 году. Позднее Н. Винер построил строгую математическую модель, описываю-щую броуновское движение, которое называют еще и винеровским процессом. Понятие случайного (стохастического) процесса является расширением понятия случайной величины. Можно сказать, что случайный процесс – это семейство случайных величин, эволюционирующих во времени.

За пять лет до Эйнштейна в 1900 году Л. Башелье предпринял попытку описать стоимость акций как случайный процесс. Хотя его рассуждения не обладали математической строгостью и содержали ошибочное допущение, что цены акций могут быть отрицательными, он был первым, кто заметил, что при малых промежутках времени D t приращения D S (t) цены акций ведут себя как : (1). И это позволило через 65 лет П. Самуэльсону для описания эволюции стоимости

акций S (t) ввести так называемое геометрическое (он также писал «экономическое») броуновское движение.

Несмотря на общность теории случайных блужданий, как

одного из типов случайных процессов, мы рассмотрим только

- 3 -

случайное блуждание броуновской частицы в рамках молекулярно-кинетического объяснения, предложенного в 1905 г. А. Эйнштейном и независимо в 1906 г. польским физиком М. Смолуховским.

Сущность этого движения в следующем. Частицы вместе с молекулами жидкости образуют единую статистическую систему. В соответствие с теоремой о равнораспределении по степеням свободы на каждую степень свободы броуновской частицы приходится энергия .

Энергия , приходящаяся на три поступательные степени свободы приводит к движению ее центра масс, которое и наблюдается под микроскопом в виде дрожания. Если броуновская частица достаточно жестка и ведет себя как твердое тело, то еще энергии приходится на ее вращательные степени свободы. Поэтому при своем дрожащем движении она испытывает также и постоянные изменения ориентировки в пространстве.

Уравнивание средних кинетических энергий происходит вследствие беспорядочных столкновений между частицами, а движение каждой из частиц в результате столкновений является случайным процессом.

Если промежуток наблюдения t достаточно велик, чтобы силы, действующие на частицу со стороны молекул среды, много раз меняли свое направление, то средний квадрат проекции ее смещения на какую либо ось (в отсутствии других внешних сил) пропорционален времени t (закон Эйнштейна):

, (2)

где D – коэффициент диффузии броуновской частицы. (Обратите внимание на подобие закона Эйнштейна (2) формуле Башелье (1)). Для сферических частиц радиусом a:

, (3)

где T – абсолютная температура, h - динамический коэффициент вязкости среды.

- 4 -

При выводе закона Эйнштейна предполагается, что смещения частицы в любом направлении равновероятны и, что можно пренебречь инерцией броуновской частицы по сравнению с влиянием сил трения (это допустимо для достаточно больших промежутков наблюдения t). Обратим внимание, что в виртуальном эксперименте с помощью компьютера достаточно сложно учесть все отмеченные выше предположения прежде всего из-за невозможности промоделировать столкновения с огромным количеством молекул, что может приводить к некоторым незначительным отклонениям от линейной зависимости от t. Напомним, что в одном моле среды содержится огромное количество молекул, равное числу Авогадро N _A = 6,02 10²³ моль^-1.

Формула для коэффициента D основана на применении формулы Стокса для гидродинамического сопротивления движению сферы радиусом a в вязкой жидкости

, (4)

где h =6 pah - коэффициент гидродинамического сопротивления движению сферы радиусом a в вязкой жидкости.

Соотношения для и D были экспериментально подтверждены измерениями Перрена и Сведберга. Из этих измерений экспериментально определены постоянные Больцмана k и Авогадро N _A.

Виртуальный эксперимент также позволяет определить постоянную Авогадро и оценить точность ее измерения в зависимости от числа виртуальных молекул, используемых при моделировании реального эксперимента.

Кроме поступательного броуновского движения существует, как мы указывали раньше, также и вращательное броуновское движение – беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды. Для вращательного броуновского движения среднее квадратичное

угловое смещение частицы пропорционально времени

наблюдения , (5)

- 5 -

где D_{вр ­} - коэффициент диффузии вращательного броуновского движения, равный для сферической частицы: . Эти соотношения были также подтверждены опытами Перрена, хотя этот эффект гораздо труднее наблюдать, чем поступательное броуновское движение.

Теория броуновского движения исходит из представления о движении частицы под влиянием «случайной» обобщенной силы f (t), которая описывает влияние ударов молекул и в среднем равна нулю, систематической внешней силы F_x, которая может зависеть от времени, и силы трения – , возникающей при движении частиц в среде со скоростью . Итак теория броуновского движения строится на общей теории случайных блужданий и может рассматриваться как один из частных случаев случайных процессов.

Уравнение случайного движения броуновской частицы – Ланжевена уравнение – имеет вид:

, (6)

где m – масса частицы (или, если x – угол, ее момент инерции), h – коэффициент трения при движении частицы в среде. Для достаточно больших промежутков времени (t >> m/h) инерцией (т.е. членом ) можно пренебречь и, проинтегрировав уравнение Ланжевена при условии, что среднее произведение импульсов случайной силы для неперекрывающихся промежутков времени равно нулю, найти средний квадрат флуктуаций , т.е. вывести соотношение Эйнштейна (3).

В более общей задаче теории броуновского движения последовательность значений координат и импульсов частиц через равные промежутки времени рассматривается как марковский случайный процесс. Математической моделью броуновского движения является винеровский случайный

процесс, что и позволяет теорию случайных блужданий броуновской частицы применять не только в физике, но и в

 

- 6 -

других естественных науках, например в химии и метрологии и

даже в социальных науках, например, в финансовой статистике и экономике.

В метрологии броуновское движение рассматривают как основной фактор, ограничивающий точность чувствительных измерительных приборов.

В рамках финансового рынка «экономическое» броуновское движение явилось одной из первых попыток учесть флуктуации (неопределенности) финансового рынка.