Теория пространства и времени Канта 9 страница

Учение Джеймса - это попытка возвести надстройку веры на фундаменте скептицизма, и, как все подобные попытки, она ведет к ошибкам. В данном случае ошибки проистекают из попытки игнорировать все факты вне человека. Берклианский идеализм в сочетании со скептицизмом привели к тому, что Бога подменили верой в Бога и считают, что это ничуть не хуже. Но это только одна из форм субъективистского сумасшествия, характерного для большей части современной философии.

Глава XXX. ДЖОН ДЬЮИ

Общепризнано, что Джон Дьюи (род. в 1859 году) является ведущим современным философом Америки. Я целиком присоединяюсь к этой оценке. Он оказывает огромное влияние не только на философов, но и на людей, изучающих вопросы образования, эстетики и политические теории. Он человек широкого характера, либеральный по своим взглядам, благородный и добрый в личных отношениях, неутомимый в работе. Я почти полностью согласен со многими из его взглядов. Уважая его, преклоняясь перед ним и испытав на себе его доброту, я бы хотел целиком разделять его убеждения, но, к сожалению. вынужден разойтись с ним во мнениях относительно наиболее характерной для него философской доктрины, а именно относительно замены "истины" "исследованием" как основной концепции логики и теории познания.

Как и У. Джеймс, Дьюи - выходец из Новой Англии, он продолжает традиции новоанглийского либерализма, забытые некоторыми потомками великих "новых англичан", живших 100 лет назад. Он никогда не был так называемым "чистым" философом. Особенно он интересовался образованием, и его влияние на американское образование очень велико. Я по мере своих скромных возможностей пытался оказывать влияние на образование в том же направлении, что и он. Возможно, он, как и я, не всегда бь1л удовлетворен практической деятельностью тех людей, которые объявляли его своим учителем, но ведь каждое новое учение на практике всегда связано с некоторыми нелепостями и излишествами. Это, однако, не так уж страшно, как можно подумать, потому что ошибки нового гораздо легче заметить, чем ошибки, ставшие традиционными.

В 1894 году, когда Дьюи стал профессором философии в Чикаго, он включил педагогику в число преподаваемых им предметов. Он основал прогрессивную школу и очень много писал по вопросам образования. Все созданное им в это время собрано в книге "Школа и общество" (1899), которая оказала наибольшее влияние из всего, что им написано. Он продолжает писать по вопросам образования в течение всей свой жизни и уделяет им почти столько же внимания, сколько философии.

Его занимали и многие другие социальные и политические проблемы. Как и на меня, на него сильнейшим образом повлияли поездки в Россию и Китай, отрицательно в первом случае и положительно во втором. Он неохотно поддержал Первую Мировую Войну. Он сыграл большую роль в расследовании того, виновен ли по-настоящему Лев Троцкий, и хотя он верил в необоснованность выдвинутых против того обвинений, Дьюи все-таки полагал, что вряд ли советский режим был бы лучше, если бы вместо Сталина преемником Ленина оказался Троцкий. Дьюи пришел к заключению, что насильственная революция, ведущая к диктатуре, не может привести к хорошему обществу. Будучи весьма либеральным в экономических вопросах, он никогда не был марксистом. Он как-то сказал при мне, что освободившись от оков традиционной ортодоксальной теологии, он не собирается заковать "себя в другие оковы. Во всем этом его взгляды почти совпадают с моими собственными.

Со строго философских позиций основное значение работ Дьюи - в его критике традиционного понятия "истины". Эта критика объединена им в теорию, названную "инструментализмом". Истина в понимании большинства профессиональных философов статична и конечна, совершенна и вечна. Пользуясь терминологией религии, ее можно отождествить с мыслями Бога и с теми мыслями, которые мы, как разумные существа, имеем общие с Богом. Совершенный образ истины - это таблица умножения, точная и достоверная, свободная от всех влияний времени. Уже со времени Пифагора, а особенно после Платона математика была связана с теологией и глубоко повлияла на теорию познания большинства профессиональных философов. Интересы Дьюи лежат в области биологии, а не в области математики;

он рассматривает мышление как эволюционный процесс. Традиционный взгляд, конечно, допускает, что люди познают постепенно, но каждая ступень познания, коль скоро она достигнута, рассматривается как нечто законченное. Правда, Гегель рассматривает человеческое познание не так. Он представляет себе человеческое познание как органическое целое, постепенно увеличивающееся в каждой своей части; но ни одна часть познания не достигает совершенства, пока не достигнет совершенства целое. Хотя гегелевская философия и оказала влияние на молодого Дьюи, она все же является философией, которая имеет свой абсолют и свой вечный мир - более реальный, чем преходящие процессы. А эти понятия не могут.найти места в мировоззрении Дьюи, для которого всякая реальность преходяща и процессы, хотя бы и эволюционные, не являются, как для Гегеля, обнаружением вечной идеи.

Во всем, что я сказал выше о Дьюи, мои взгляды не расходятся с его взглядами. И этим еще не ограничивается единство наших взглядов. Прежде чем вступить в дискуссию по тем вопросам, где мы расходимся, я хочу сказать несколько слов о моем собственном взгляде на "истину".

Первый вопрос: что может быть "истинным" и что - "ложным"? Самый простой ответ был бы: предложение. "Колумб переплыл океан в 1492 году" - истинно: "Колумб переплыл океан в 1776 году - ложно". Это правильный ответ, но неполный. Предложения истинны или ложны, как это обычно бывает, потому, что они имеют значение, а их значение зависит от используемого языка. Если вы будете переводить сочинения Колумба на арабский язык, то вам придется заменить 1492 год соответствующим годом магометанского летоисчисления. Предложения, высказанные на разных языках, могут иметь одинаковое значение, и именно значением, а не словами определяется "истинность" или "ложность" предложения. Когда вы высказываете какое-то предложение, вы выражаете некоторую веру, которую можно с таким же успехом выразить и на другом языке. Именно эта "вера", какой бы она ни была, являемся "истинной", или "ложной", или "более или менее истинной". Таким образом, мы поставлены перед необходимостью исследовать понятие "вера".

Вера, при условии, что она достаточно проста, может существовать, и не будучи выражена словами. Конечно, трудно, не употребляя слов, верить, что отношение длины окружности к своему диаметру равно приблизительно 3,14159 или что Цезарь, решив перейти Рубикон, решил судьбу римского республиканского устройства. Но в простых случаях не выраженная словами вера очень распространена. Предположим, например, что, спускаясь с лестницы, вы ошиблись и подумали, что уже достигли нижней ступеньки, - тогда вы сделаете шаг, который годится только для ровного места, упадете и ушибетесь. В результате возникнет сильный шок удивления. Вы, естественно, скажете: "Я думал, что уже спустился", - но на самом деле вы совсем не думали о ступеньках, иначе вы бы не ошиблись. Ваши мускулы уже приспособились для ходьбы по ровному месту, хотя в действительности вы еще не достигли нижней ступеньки. Ошиблось ваше тело, а не разум, так по крайней мере было бы естественно выразить то, что с вами случилось. Но фактически различие между разумом и телом довольно сомнительно, и лучше говорить об "организме", не разграничивая его функций между разумом и телом. Тогда можно сказать: ваш организм был приспособлен для ходьбы по ровному месту, но в данном случае это было непригодно. Такая неправильная приспособленность была ошибкой, и можно сказать, что вы придерживались ложной веры.

Критерием ошибки в вышеприведенном примере служит удивление. Я думаю, что это справедливо в общем для всех верований, которые можно проверить. Ложной верой мы назовем такую, которая в соответствующих условиях вызовет удивление у придерживающегося этой веры человека. Истинная же вера не даст такого эффекта. Но хотя удивление является хорошим критерием в тех случаях, когда оно применимо, однако оно не даст смысла слов "истинно" и "ложно" и не всегда может быть применимо. Предположим, что вы идете пешком в грозу и говорите себе: "Совершенно невероятно, чтобы молния ударила именно в меня". В ту же секунду вас поражает удар молнии, но вы не испытываете удивления, потому что вы мертвы Если в один прекрасный день взорвется Солнце (что, по предположению Джеймса Джинса, по-видимому, возможно), то мы все немедленно погибнем и поэтому не будем испытывать удивления. Но раз мы не ожидали катастрофы, а она произошла, то, значит, мы все до этого ошибались. Такие примеры наводят на мысль об объективности истинности и ложности. То, что истинно (или ложно), - это состояние организма, но в общем его истинность (или ложность) обусловлена событиями вне организма. Иногда экспериментальная проверка истинности или ложности возможна, иногда и нет. Когда такая проверка невозможна, то альтернатива истинности и ложности тем не менее остается и имеет значение.

На этом я кончаю излагать свои взгляды на истинность и ложность и перехожу к рассмотрению концепции Дьюи.

Дьюи не претендует на абсолютно "истинные" суждения и не клеймит противоположные суждения как абсолютно "ложные". По мнению, существует процесс, называемый "исследованием", являющийся формой взаимного приспособления организма и его среды. Если бы я хотел, придерживаясь своей точки зрения, идти как можно дальше в согласии с Дьюи, я начал бы с анализа понятий "значение" (meaning) или "смысл" (significance).

Предположим, например, что вы находитесь в зоопарке и слышите по радио объявление: "Только что сбежал лев". В этом случае вы поступите так же, как вы бы поступили, увидев льва, то есть броситесь спасаться бегством. Предложение "лев сбежал" означает некоторое событие в том смысле, что оно обусловливает такое же поведение, какое вызвало бы само событие, если бы вы его увидели. Или в общем виде: предложение S означает событие Е, если оно вызывает такое же поведение, какое вызвало бы событие Е. Если же на самом деле такое событие не имело места, то предложение ложно. То же самое относится к вере, не выраженной словами. Можно сказать: вера есть состояние организма, вызывающее такое же поведение, какое вызвало бы определенное событие, если бы оно было дано в ощущении. Событие, которое вызвало бы такое поведение, есть "значение" веры. Это утверждение чересчур упрощенно, но оно может помочь обрисовать ту теорию, которую я отстаиваю. До сих пор, мне кажется, мы с Дьюи не слишком расходились во взглядах. С его дальнейшими положениями я уже определенно не согласен.

сущностью логики Дьюи делает исследование, а не истину или познание. Он так определяет исследование: "Исследование есть управляемое и направляемое преобразование индетерминированной ситуации в ситуацию так детерминированную в образующих ее различениях и отношениях, что она превращает элементы первоначальной ситуации в единое целое". Он добавляет, что "исследование связано с объективными преобразованиями объективного предмета". Это определение явно не точно. Возьмем, например, отношение сержанта, обучающего новобранцев, к толпе рекрутов или каменщика - к груде кирпичей; они точно подходят под определение "исследования", по Дьюи. Так как ясно, что он не хотел включить эти случаи, то в его понятии "исследования" должен быть элемент, который он забыл упомянуть в своем определении. Что это за элемент, я постараюсь определить. Но сначала рассмотрим, что вытекает из его определения в том виде, в котором оно дано.

Ясно что исследование", как его понимал Дьюи, является частью общего процесса - попытки сделать мир более организованным (organic). Результатом исследований должны быть "единые целые". Любовь Дьюи ко всему организованному обусловлена частично биологией, частично влиянием на него Гегеля, которое носило слишком затяжной характер. Если не принимать во внимание эту неосознанную метафизику Гегеля, то непонятно, почему надо ожидать, что исследование даст в результате "единые целые". Если бы мне дали перетасованную колоду карт и попросили бы исследовать, в какой последовательности они идут, то, следуя предписаниям Дьюи, я должен сначала расположить их по порядку и затем сказать, что таков порядок, получающийся в результате исследования. Действительно, при перемещении карт будет происходить "объективное преобразование объективною предмета", но определение это допускает. Если в конце концов мне скажут: "Мы хотели знать ту последовательность в расположении карт, которая была вначале, когда вам дали карты, а не после тот, как вы расположили их по-новому", - я отвечу, если я ученик Дьюи:

"Ваши мысли, в общем, слишком статичны. А я - динамическая личность, и когда я исследую любой предмет, я должен сначала изменить его так, чтобы облегчить исследование". Понятие о законности подобной процедуры можно оправдать только с помощью гегелевского различия между видимостью и действительностью. Видимость может быть запутанной и фрагментарной, но подлинная действительность всегда упорядочена и организованна. Поэтому, когда я раскладываю карты по порядку, я только обнаруживаю их истинную вечную природу. Но эта часть концепции Дьюи никогда не была высказаны им до конца. За этими теориями Дьюи кроется метафизика организма (organism), но я не знаю, насколько он сам это сознавал.

Давайте так дополним определение Дьюи, что оно даст возможность отличить исследование от других видов организующей активности, таких, как, например, деятельность сержанта или каменщика. Раньше можно было бы сказать, что исследование отличается своей целью, и этой целью является достижение некоторой истины. Но, по Дьюи, самую "истину" надо определять, исходя из "исследования", а не наоборот. Он с одобрением цитирует определение Пирса: "Истина есть мнение, с которым суждено в конце концов согласиться всем, кто исследует". Это оставляет нас в полном неведении относительно того, чем занимаются исследователи, ибо мы не можем, не впадая в порочный круг, сказать, что они пытаются найти истину.

Я думаю, что теорию д-ра Дьюи можно было бы сформулировать следующим образом: отношения организма к его среде бывают иногда удовлетворительными для организма, иногда - неудовлетворительными. Когда они неудовлетворительны, положение можно улучшить путем взаимного приспособления, когда все изменения, с помощью которых положение улучшается, происходят прежде всего с организмом (они никогда полностью не происходят лишь с одной стороной), то данный процесс называется "исследованием". Например, во время битвы вы в основном заняты изменением среды, то есть врага, но и предшествующий период разведки вы главным образом заботитесь о том, чтобы расположить свои собственные силы в соответствии с диспозицией противника. Этот ранний период есть период исследования.

Затруднение этой теории, по-моему, лежит в том, что она разрывает связь между верой и тем фактом или теми фактами, о которых в целом можно было бы сказать, что они "подтверждают" эти мнения. Давайте продолжим рассмотрение примера с генералом, готовящимся к бою. Разведка сообщает ему о некоторых приготовлениях врага, но он в соответствии с этим осуществляет некоторые контрприготовления.

Здравый смысл сказал бы, что рапорты, согласно которым действует генерал Истинны", если враг действительно совершил те передвижения о "которых сообщалось. И тогда эти рапорты остаются истиной даже если генерал впоследствии проиграет сражение. Однако Дьюи отвергает такой взгляд на вещи. Он не делит верования на истинные и ложные", но считает, что есть два вида мнении: один, который мы назовем "удовлетворительным", если генерал выигрывает сражение и "неудовлетворительным", если сражение будет проиграно. До тех пор пока не произойдет сражения, генерал не может оценить донесения своих разведчиков.

Обобщая, мы можем сказать, что д-р Дьюи, как и всякий другой, подразделяет верования на два класса, один из которых хорош, а другой плох. Он мигает, однако, что некоторая вера может быть хорошей в один момент времени и плохой в другой. Так случается с несовершенными теориями, которые лучше, чем предшествующие им, но хуже чем последующие. Хороша или плоха данная вера, зависит от того удовлетворительные или неудовлетворительные последствия для организма придерживающегося данной веры, имеет активность, возбуждаемой этой верой. Таким образом, веру в некоторое прошлое надо классифицировать как "хорошее" или "плохое, не в соответствии с тем, имело ли действительно место данное событие, несоответствии с будущими последствиями этой веры. Результаты этого курьезны Предположим, кто-нибудь спрашивает у меня: "Пили ли вы сегодня утром за завтраком кофе?" Если я обыкновенный человек я постараюсь это припомнить. Но если я последователь д-ра Дьюи я скажу?.Подождите немного. Прежде чем я смогу ответить вам мне нужно проделать два эксперимента". Сначала я должен уверить себя что я пил кофе, и взвесить последствия этого, если таковые имеются; затем я должен уверить себя, что я не пил кофе, и снова рассмотреть все последствия этого. Затем мне нужно сравнить эти совокупности последствий и оценить, какая из них кажется мне более удовлетворительной. Если окажется, что одна совокупность Последствий более удовлетворительная, чем другая, то моим ответом на вопрос должен быть тот, который ведет к этим последствиям. Если же последствия в равной мере удовлетворительны, то я должен признаться что не могу ответить на вопрос.

Но тут еще не кончаются наши затруднения. Как я могу знать последствия той веры, что я пил за завтраком кофе? Если я говорю: "Последствия такие то и такие-то", - то и это утверждение надо в свою очередь проверить по его последствиям, прежде чем я смогу есть ли то, что я сказал, "хорошим" или "плохим" утверждением И даже если эта трудность была бы преодолена, то как я должен решить какие из последствий более удовлетворительны? Одно решение относительно того, пил ли я кофе, может наполнить меня удовлетворенностью, другое - решимостью продолжать военные усилия Каждое из них можно рассматривать как хорошее, но, пока я не решил, какое лучше, я не могу сказать, пил ли я за завтраком кофе. Ясно что это абсурд.

Расхождения Дьюи с тем, что до сих пор считалось здравым смыслом, обусловлено его отказом допустить в свою метафизику факты", в том смысле, в котором говорят, что "факты" - упрямая вещь" и не могут быть подтасованы. Возможно, что в этом отношении здравый смысл постепенно изменяется и что взгляды Дьюи со временем не будут казаться противоречащими тому, чем станет здравый смысл.

Основное различие между д-ром Дьюи и мной состоит в том, что он судит о верованиях по их следствиям, тогда как я сужу о них по их причинам, когда рассматриваются прошлые события. Я считаю такую веру "истинной" или столь близкой к "истине", насколько мы можем этого добиться, если она стоит в определенного род;) отношении (иногда очень усложненном) к его причинам. Д-р Дьюи считает, что это мнение имеет "гарантированную утверждаемость" (warranted assertability) - таким термином он заменяет "истину", - если оно заключает в себе определенного рода последствия наше расхождение связано с различием мировоззрений. Наши действия не могут влиять на прошедшие события, и поэтому если истинность определяется тем, что уже произошло, то она не зависит от настоящих или будущих волевых актов; это выражает в логической форме ограниченность человеческого могущества. Но если "истинность" или, скорее, "гарантированная утверждаемость" зависит от будущего, то в той мере, в какой мы можем изменять будущее, мы способны изменять то, что должно утверждаться. Это увеличивает сознание могущества и свободы человека. Перешел ли Цезарь Рубикон? Я бы рассматривал утвердительный ответ как с необходимостью обусловленный событиями прошлого. Д'-р Дьюи ответил бы "да" или "нет", оценивая будущие события; и нет никаких оснований, почему бы эти будущие события не могли быть так устроены человеком, чтобы отрицательный ответ стал более удовлетворительным. Если я нахожу то мнение, что Цезарь перешел Рубикон, очень неприятным, я не должен сидеть в тупом отчаянье; я могу, если у меня достаточно умения и сил, создать такие социальные условия, в которых утверждение, что Цезарь не переходил Рубикона, будет иметь гарантированную утверждаемость.

Во всей моей книге я пытался там, где это возможно, связывать философии с социальной средой, окружавшей рассматриваемых философов. Мне кажется, что вера в могущество человека и нежелание допустить "упрямые факты" связаны с оптимизмом, вызванным машинным производством и научным преобразованием нашей природной среды. Этот взгляд разделяют многие сторонники д-ра Дьюи. Так, Джордж Реймонд Гейгер (Gciger) в своем хвалебном очерке говорит, что метод д-ра Дьюи "означает революцию в мышлении, столь же буржуазную и не эффектную, но столь же важную, как промышленная революция сто лет назад". Мне казалось, что я высказывал ту же самую мысль, когда писал: "Мировоззрение д-ра Дьюи в том, что составляет его своеобразие, гармонирует с веком индустриализации и объединенных предприятий. Естественно, что самый сильный его призыв обращен к американцам и что его почти одинаково ценят прогрессивные элементы в таких странах, как Китай и Мексика".

К моему сожалению и удивлению, это утверждение, казавшееся мне совершенно безобидным, рассердило д-ра Дьюи, который ответил:

"Закоренелая привычка мистера Рассела связывать теорию познания прагматизма с неприятными сторонами американского индустриализма... очень похожа на то, если бы я связал его философию с интересами английской земельной аристократии".

Что касается меня, то я привык к тому, что многие (особенно коммунисты) объясняют мои взгляды связью с британской аристократией и я готов охотно допустить, что на мои взгляды, как и на взгляды других людей, оказывает влияние социальная среда. И если я ошибаюсь относительно влияния социальной среды на д-ра Дьюи, то сожалею о своей ошибке. Однако я нахожу, что не один совершаю такую ошибку. Сантаяна, например, говорит:.У Дьюи, как и в современной науке и этике, имеется всепроникающая квазигегельянская тенденция разлагать индивидуум на его социальные функции, а все субстанциальное и действительное - на что-то относительное и преходящее". Мир д-ра Дьюи. мне кажется. -..то такой мир, в котором воображение занято человеческими существами: космос астрономии существование которого, безусловно, признается. почти всегда игнорируется Философия Дьюи - это философия силы, хотя и не индивидуальной силы, как у Ницше; сила обществ ощущается как ценная. Именно этот элемент социальной силы, и полагаю, делает философию инструментализма привлекательной для тех, на кого наша новая власть над силами природы производит большее впечатление, чем те ограничения, которым эта власть все еще подвержена.

Отношение человека к нечеловеческой среде было существенно различным в разные времена. Греки с их страхом черед hybns и их игрой в необходимость, или судьбу, отнятую даже выше самого Зевса, тщательно избегали того, что могло показаться им оскорбительным для вселенной. В средние века покорность зашла еще дальше: смирение перед Богом было первым долгом христианина. При таком отношении связывалась инициатива и вряд ли была возможна подлинная оригинальность Возрождение восстановило человеческую гордость, но довело ее до такой степени, что она стала вести к анархии и бедствиям. Достижения Возрождения были во.многом погублены Реформацией и Контрреформацией. Но современная техника, хотя и не вполне благоприятствующая гордой индивидуальности Возрождения, оживила сознание коллективной силы человеческого общества. Человек, прежде слишком скромный, начал считать себя почти что Богом. Итальянский прагматист Папини убеждает нас заменить "подражание Богу" "подражанием Христу".

Во всем этом я чувствую серьезную опасность, опасность того, что можно назвать "космической непочтительностью". Понятие "истины" как чего-то зависящего от фактов, в значительной степени не поддающихся человеческому контролю, было одним из способов, с помощью которых философия до сих пор внедряла необходимый элемент скромности Если это ограничение гордости снято, то делается дальнейший шаг по пути к определенному виду сумасшествия - к отравлению властью, которое вторглось в философию с Фихте и к которому тяготеют современные люди - философы или нефилософы. Я убежден что это отравление является самой сильной опасностью нашего времени и что всякая философия, даже ненамеренно поддерживающая его, увеличивает опасность громадных социальных катастроф.

 

Глава XXXI. ФИЛОСОФИЯ ЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В философии уже со времен Пифагора существовала противоположность между людьми, чьи мысли в основном стимулировались математикой, и теми, на которых больше влияли эмпирические науки. Платон, Фома Аквинский, Спиноза и Кант принадлежали к партии, которую можно назвать математической; Демокрит, Аристотель и эмпирики Нового времени, начиная с Локка и до наших дней, относятся к противоположной партии. В наши дни возникла философская школа, которая ставит себе целью устранить пифагорейство из принципов математики и соединить эмпиризм с заинтересованностью в дедуктивных частях человеческого знания. Цели этой школы менее эффектны, чем у большинства философов прошлого, но многие ее достижения столь же значительны, как и достижения людей науки.

Эта философия обязана своим происхождением достижениям математиков, задавшихся целью очистить свой предмет от ошибок и неряшливых выводов. Великие математики XVII века были настроены оптимистически и стремились к быстрым результатам, поэтому они и не дали надежного обоснования исчислению бесконечно малых величин и аналитической геометрии. Лейбниц верил в реальность бесконечно малых величин, но, хотя эта вера соответствовала его метафизике, в математике она не имела твердой основы. В середине XIX века Вейерштрасс показал, как можно обосновать исчисление без бесконечно малых величин, и, таким образом, сделал его, наконец, логически надежным. Затем пришел в математику Георг Кантор, развивавший теорию непрерывности и бесконечных чисел. Слово "непрерывность", до того как Кантор дал ему определение, было неясным, удобным для философов типа Гегеля, которые хотели внести в математику метафизическую путаницу. Кантор придал точное значение этому слову и показал, что непрерывность, как он ее определял, - это понятие, в котором нуждаются математики и физики. Благодаря этому многие учения мистиков, вроде Бергсона, были признаны устаревшими.

Кантор также разрешил давнишнюю логическую загадку бесконечных чисел. Возьмем ряд целых чисел, начиная с 1, сколько их? Ясно, что их число не конечно. Перед тысячей имеется тысяча чисел, перед миллионом - миллион. Какое бы конечное число мы ни назвали, ясно, что общее количество целых чисел больше этого, так как от единицы до данного числа имеется как раз данное число чисел, и ведь есть еще и другие числа, которые больше данного. Число конечных целых чисел должно быть поэтому бесконечным числом. Но дальше следует любопытный факт. Число четных чисел должно быть таково же, как и число всех целых чисел. Рассмотрим два ряда:

1. 2, 3, 4, 5, б.

2. 4, 6, 8, 10, 12

Каждому из чисел верхнего ряда соответствует число в нижнем ряду, поэтому число членов в обоих рядах должно быть одинаково, хотя нижний ряд состоит только из половины членов верхнего ряда. Лейбниц, заметивший это, считал это противоречием и заключил, что хотя имеются бесконечные совокупности, но не имеется бесконечных чисел. Наоборот, Георг Кантор смело отрицал наличие здесь противоречия. Он был прав: это только кажется странным.

Георг Кантор определил "бесконечное" множество как имеющее части, содержащие столь же много членов, как и все множество. На этой основе он смог построить наиболее интересную математическую теорию бесконечных чисел, включив в область точной логики целую область, до этого полную мистицизма и путаницы.

Следующей значительной фигурой был Фреге, который опубликовал свою первую работу в 1879 году, а в 1884 году дал свое определение "числа". Но, несмотря на то, что его исследования открывали новую эпoxy, он оставался непризнанным до тех пор, пока в 1903 году я не привлек внимания к его работам. Интересно отметить, что все определения числа, предложенные до Фреге, содержали элементарные логические ошибки. Обычно "число" раньше отождествляли с "множественностью, совокупностью". Однако конкретный пример "числа" - это определенное число, скажем 3, а конкретный пример 3 - это определенная тройка. Тройка и есть совокупность, а класс всех троек, который Фреге отождествляет с числом 3, есть совокупность совокупностей, а число вообще, частным случаем которого является 3, есть совокупность совокупностей совокупностей. Элементарная грамматическая ошибка, состоящая в смешении числа вообще с простой совокупностью данной тройки, сделала всю философию числа до Фреге переплетением абсурда в самом строгом смысле слова. Из работ Фреге следует, что арифметика и чистая математика в общем есть не что иное, как продолжение дедуктивной логики. Это опровергает теорию Канта о том, что арифметические суждения являются "синтетическими" и заключают в себе ссылку на время. Дальнейшее выведение чистой математики из логики было детально осуществлено Уайтхедом и мной в "Principia Mathemalica".