Конечноэлементная дискретизация и переход к локальным матрицам

Получим аппроксимацию уравнения (1.1) на конечномерных подпространствах и , аппроксимирующих исходные пространства и . Для этого заменим функцию аппроксимирующей её функцией , а функцию функцией :

+ + = + + .

Поскольку любая функция может быть представлена в виде линейной комбинации , то полученное вариационное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

+ + = + + .

Поскольку , оно может быть представлено в виде в итоге получаем СЛАУ для компонент вектора весов q с индексами :

= + + .

При решении исходной краевой задачи с использованием базисных функций, принимающих нулевые значения во всех узлах сетки, кроме одного, конечноэлементная СЛАУ для вектора весов q может быть записана в матричном виде: Aq = b, где компоненты матрицы А и вектора b определяются соотношениями

=

= , эти будем интегралы вычислять как сумму интегралов по конечным элементам , на которые разбита расчётная область:

= = , ,

= = ,

= = , .

В полярных координатах примут компоненты локальных матриц вид

= , = .

Компоненты локального вектора правой части конечного элемента определяются как .

Также формулы эти можно записать в виде .

Билинейные базисные функции:

На отрезке задаются две одномерные линейные функции

= , = , = .

Аналогично на интервале задаются линейные функции

= , = , = .

Локальные базисные функции на конечном элементе = представляются в виде произведений:

= , = ,

= , = .

Биквадратичные базисные функции:

= , = , = ,

= , = , = ,

= , = , = .