Метод вспомогательных секущих концентрических сфер

Выше отмечалось, что способ вспомогательных концентрических секущих сфер применяется в том случае, если заданные поверхности вращения удовлетворяют следующим условиям:

1. Обе заданные поверхности являются поверхностями вращения;
2. Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций;
3. Оси заданных поверхностей пересекаются.

В качестве поверхностей-посредников используют концентрические сферы, то есть сферы, проведенные из одного общего центра.

На чертеже (рис. 24) пересекаются прямой (вертикальный) и наклонный (горизонтальный) конусы вращения. Требуется построить проекции линии взаимного пересечения этих поверхностей вращения.

Рассматривая положение заданных поверхностей, устанавливаем, что выполняются три вышеуказанных условия, а именно:

1. Оба конуса являются поверхностями вращения;
2. Оба конуса имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций;
3. Оси конусов располагаются в их общей плоскости проекций и пересекаются в точке O(O₁;O₂).

Таким образом, имеются все условия для применения в данном случае способа концентрических секущих сфер.

Построение проекций кривой пересечения ведется в следующей последовательности:

1. Начинают построение с определения на чертеже (рис. 24) положения проекций опорных точек — экстремальных точек и точек видимости. Из анализа расположения фигур следует, что их главные меридианальные плоскости совпадают, а поэтому точки 2₂ и 1₂ пересечения главных меридианов являются общими для обеих поверхностей и относятся к опорным точкам кривой пересечения. Горизонтальные проекции 2₁ и 1₁ точек располагаются на горизонтальном следе главной меридианальной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии фигур. При этом точка 1(1₁;1₂) является высшей, а точка 2(2₁;2₂) — низшей точками кривой пересечения. Обратите внимание на то, что горизонтальная проекция 2₁ точки 2 заключена в круглые скобки, то есть является невидимой. Это говорит о том, что не все точки кривой пересечения будут видимыми на горизонтальной плоскости проекций. На видимость горизонтальных проекций точек кривой пересечения влияет расположение горизонтального конуса вращения (рис. 24). Доказано, что горизонтальная секущая плоскость Σ, проведенная через ось вращения горизонтального конуса i₂¹, делит его поверхность на две части: видимую и невидимую по отношению к горизонтальной плоскости проекций. Пересечение горизонтальных проекций фигур сечения заданных конусов плоскостью Σ позволяет найти на чертеже положения точек 3(3₁;3₂) и 4(4₁;4₂), являющихся точками видимости кривой пересечения. Справа от точек 3₁ и 4₁ горизонтальная проекция кривой будет видимой, а слева — невидимой. С другой стороны, точка 3 является самой близкой, а точка 4 — самой дальней по отношению к наблюдателю точками кривой. Фронтальные проекции 3₂ и 4₂ этих точек совпадают, так как относительно главной меридианальной плоскости эти точки кривой являются симметричными.

Точки 1, 2, 3 и 4 являются опорными.

Рис. 24.

2. Определяют положение на чертеже проекций некоторого количества регулярных точек кривой пересечения. Для этого применяют способ вспомогательных концентрических секущих сфер.

Центром проведения вспомогательных секущих сфер является точка O₂ пересечения фронтальных проекций осей вращения конусов. Напомним, что сущность применяемого способа состоит в том, что каждая из заданных поверхностей вращения пересекается вспомогательной соосной сферой. Поэтому возникает задача определения значений минимального и максимального радиусов сферы пересекающихся с каждым из конусов. Для определения значений минимального радиуса секущей сферы на фронтальной плоскости проекций из центра O₂ опускают перпендикуляры, представляющие собой радиусы окружностей, вписанных в главные меридианы (очерковые треугольники) конусов (рис. 25). В качестве минимального радиуса сферы принимают наибольший из радиусов вписанных окружностей. Только в этом случае соблюдается условие пересечения одной сферой каждой из поверхностей вращения. Действительно, сфера, проведенная радиусом, равным наибольшему радиусу вписанной окружности, будет касаться одной из поверхностей, а с другой — пересекаться.

Если же в качестве минимального радиуса принять наименьший радиус вписанной окружности, то одна из поверхностей вращения с такой сферой вообще не пересечется.

Максимальный радиус сферы R_max (рис. 25) равен расстоянию от центра сфер O₂ до наиболее удаленной точки 2₂ пересечения главных меридианов конусов — очерковых треугольников.

Рис. 25.

Установив значения минимального и максимального радиусов сфер R_min и R_max, проводят первую сферу радиусом равным, например, значению минимального радиуса R_min (рис. 26). Каждая из поверхностей вращения пересекается с соосной сферой по окружности. При заданном расположении фигур на чертеже фронтальные проекции окружностей представляют собой отрезки прямых: 15₂ и 15₂ — для вертикального конуса, и 16₂ — 16₂ — для горизонтального конуса, соединяющих точки пересечения главных меридианов (очерковых треугольников) каждого из конусов с главным меридианом (очерковой окружностью) вспомогательной секущей сферы (рис. 26).

Рис. 26.

Точки пересечения отрезков 15₂ — 15₂ и 16₂ — 16₂ представляют собой фронтальные проекции 5₂ и 6₂ двух конкурирующих точек 5 и 6, принадлежащих одновременно сфере и каждой из заданных поверхностей вращения. Поэтому точки 5 и 6 относятся к регулярным точкам кривой взаимного пересечения вертикального и горизонтального конусов. Подобным образом определяется положение на чертеже некоторого количества фронтальных проекций регулярных точек кривой пересечения (рис. 27). Для этого проводят концентрические сферы из центра O₂ произвольными радиусами, меньшими максимального R_max и большими минимального R_min.

С помощью вспомогательных секущих сфер, проведенных радиусами R₂¹ и R₂² (рис. 27), определены положения четырех фронтальных проекций 7₂, 8₂, 9₂ и 10₂ регулярных точек кривой пересечения.

Рис. 27.

Затем приступают к построению горизонтальных проекций построенных на плоскости Π₂ регулярных точек (рис. 28). Эти построения производятся на основании эпюрного признака принадлежности точек одной из поверхностей вращения.

Рис. 28.

Так как построенные точки кривой пересечения 1 — 10 принадлежат обеим поверхностям вращения, то они принадлежат и одной из них — вертикальному конусу. Тогда на фронтальной плоскости проекций внутри контура главного меридиана (очеркового треугольника) вертикального конуса через точки 5₂=(6₂), 7₂=(8₂) и 9₂=(10₂) проводят отрезки прямых, перпендикулярные оси вращения i₂^в вертикального конуса. Эти отрезки являются фронтальными проекциями параллелей, проходящих через точки 5, 6, 7, 8, 9, 10 на поверхности вертикального конуса. Построив горизонтальные проекции этих параллелей, с помощью линий связи, опущенных из точек 5₂ — 10₂, определяют на них положения горизонтальных проекций 5₁ — 10₁ регулярных точек кривой пересечения конусов.

3. После определения на чертеже проекций опорных точек и некоторого количества регулярных точек кривой пересечения соединяют плавной кривой линией (обычно по лекалу) одноименные проекции этих точек с учетом их видимости на чертеже. Таким образом, получают фронтальную и горизонтальную проекции кривой пересечения вертикального и горизонтального конусов вращения.