В данной схеме включения n одинаковых образцов оборудования только один находится все время в работе (рис. 4.5.11). Когда работающий образец выходит из строя, его непременно отключают, и в работу вступает один из (n -1) резервных (запасных) элементов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все (n -1) резервных образцов не будут исчерпаны.
Рис. 4.5.11. Блок-схема системы включения резервного оборудования системы замещением
Примем для этой системы следующие допущения:
1. Отказ системы происходит, если откажут все n элементов.
2. Вероятность отказа каждого образца оборудования не зависит от состояния остальных (n -1) образцов (отказы статистически независимы).
3. Отказывать может только оборудование, находящееся в работе, и условная вероятность отказа в интервале t, t+dt равна ldt; запасное оборудование не может выходить из строя до того, как оно будет включено в работу.
4. Переключающие устройства считаются абсолютно надежными.
5. Все элементы идентичны. Резервные элементы имеют характеристики как новые.
Система способна выполнять требуемые от нее функции, если исправен по крайней мере один из n образцов оборудования. Таким образом, в этом случае надежность равна просто сумме вероятностей состояний системы, исключая состояние отказа, т.е.
Р(t) = еxp(-lt) 
. (4.5.23)
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух резервных образцов оборудования, включаемых замещением. Для того чтобы эта система работала, в момент времени t, нужно, чтобы к моменту t были исправны либо оба образца, либо один из двух. Поэтому
Р(t) = еxp(-lt) =(exp(-lt))(1+ lt). (4.5.24)
На рис. 4.5.12 показан график функции Р(t) и для сравнения приведен аналогичный график для нерезервированной системы.
Рис. 4.5.12. Функции надежности для дублированной системы с включением резерва замещением (1) и нерезервированной системы (2)
Пример 4.5.11. Система состоит из двух идентичных устройств, одно из которых функционирует, а другое находится в режиме ненагруженного резерва. Интенсивности отказов обоих устройств постоянны. Кроме того, предполагается, что в начале работы резервное устройство имеет такие же характеристики, как и новое. Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в течение 100 ч при условии, что интенсивности отказов устройств l=0,001 ч-1.
Решение. С помощью формулы (4.5.23) получаем Р(t) = (exp(-lt))(1+ lt).
При заданных значениях t и l вероятность безотказной работы системы составляет
Р(t) = е-0,1(1+0,1) = 0,9953.
Во многих случаях нельзя предполагать, что запасное оборудование не выходит из строя, пока его не включат в работу. Пусть l1 - интенсивность отказов работающих образцов, а l2 - резервных или запасных (l2>0). В случае дублированной системы функция надежности имеет вид:
Р(t) = ехр(-(l1+l2)t) + 
ехр(-l1t) - ехр(-(l1+l2)t).
Данный результат для k=2 можно распространить на случай k=n. Действительно
Р(t) = ехр(-l1(1+a(n-1))t) 
(4.5.25)
, где a = l2/l1 > 0.
