Обработка результатов косвенных измерений

Косвенные измерения – измерения, в основе которых лежат прямые измерения. Величины, подвергаемые прямым измерениям, называют измеряемыми аргументами. Исходными данными косвенных измерений являются ряды результатов наблюдений аргументов, которые предварительно обрабатываются по методике обработки результатов прямых измерений /2/.

Зависимость косвенно измеряемой величины функциональной от аргументов x ₁, x ₂, …, x _m, предполагается известной.

y = f(x ₁, x ₂, …, x _m ). (2.1)

Пусть зависимость (2.1) нелинейна. При некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации путем разложения функции (2.1) в ряд Тейлора.

, (2.2)

где - значение частной производной в точке ;

;

– остаточный член ряда Тейлора.

.

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом

 

. (2.3)

 

Обработку результата косвенного измерения проводить в следующей последовательности:

1) Вычислить результат измерения по формуле

(2.4)

2) Вычислить оценку среднего квадратического отклонения случайной погрешности результата косвенного измерения.

Если считать, что аргументы измеряют в разное время и для их измерений применяют разные средства измерений, то корреляция между погрешностями измерений отсутствует. При отсутствии корреляционной зависимости между у и аргументами оценка среднего квадратического отклонения определить по формуле

. (2.5)

При наличии корреляционной зависимости между погрешностями аргументов оценку случайной погрешности определяют по формуле

. (2.6)

3) Вычислить систематическую погрешность результата косвенного измерения по формуле

(2.7)

4) Вычислить погрешность результата косвенного измерения на основе композиции распределения случайных и неисключенных систематических погрешностей. Для расчета выбрать доверительную вероятность .

Если отношение , то случайной составляющей погрешности пренебрегают и за погрешность результата косвенного измерения принимают несключенную систематическую составляющую погрешности измерения и ее границы вычисляют по формуле

, (2.8)

где =1,1 при доверительной вероятности ,

Если отношение , то систематической составляющей погрешности пренебрегают и за погрешность результата косвенного измерения принимают случайную составляющую погрешности измерения.

 

Случайную погрешность результата косвенного измерения можно считать нормально распределенной случайной величиной, что позволяет найти ее доверительный интервал по квантилю нормированного нормального распределения, соответствующему выбранной доверительной вероятности

(2.9)

где Z – коэффициент, определяемый по таблице интегралов вероятности функции Лапласа при числе наблюдений в серии n > 20.

При малом числе наблюдений n < 20 доверительный интервал случайной погрешности находят с помощью нормированного распределения Стьюдента по формуле

(2.10)

где t –коэффициент Стьюдента, выбираемый в зависимости от принятой доверительной вероятностии числа степеней свободы

(2.11)

Значения коэффициентов t распределения Стьюдента в зависимости от принятой доверительной вероятности и числа степеней свободы ( – 1) при малом числе наблюдений приведены в таблице 1.2.

Если отношение , то доверительную границу погрешности

результата косвенного измерения вычисляют (без учета знака) по формуле

(2.12)

 

где К – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и от отношения . Значения коэффициента К приведены в таблице 2.2.

 

Таблица 2.2 Значения коэффициента К для определения доверительных границ общей погрешности результата косвенных измерений

	0,5	0,75
К при	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0.79	0,80	0,81
К при	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Погрешность, вычисленная по формуле (2.12) для суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей, не должна превышать 12%.

5) Запись результата измерения

При симметричной доверительной погрешности результат измерения представить в форме /3/

(2.13)

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности . Погрешности выражать числом, содержащим не более двух значащих цифр. Соблюдать правило округления результата измерения и погрешности.