Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений.На этом этапе определяются:
• среднее арифметическое значение х измеряемой величины;
• СКО результата измерения Sx;
• СКО среднего арифметического значения Sx̅. Грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. В ряде случаев для более надежной идентификации закона распределения результатов измерений могут определяться другие точечные оценки: коэффициент асимметрии, эксцесс и контрэксцесс, энтропийный коэффициент.
Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений.В последнем случае от выборки результатов измерений х1, х2, х3,-.., хn переходят к выборке отклонений от среднего арифметического Dх1, Dх2, Dх3,..., Dхn, где Dxi = xi - х̅.
Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений xi, где I = 1, 2,..., n, вариационного ряда(упорядоченной выборки), а также уi, где уi = min(xi) и уn = mах(хi). В вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группированиядлиной h = (y1 + yn) / m.
Оптимальным является такое число интервалов m, при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации данных сопровождается с минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения. Для практического применения целесообразно использовать предложенные mmin = 0,55n0,4 и mmax =1,25n0,4, которые получены для наиболее часто встречающихся на практике распределений с эксцессом, находящимся в пределах от 1,8 до 6, т.е. от равномерного до распределения Лапласа.
Искомое значение m должно находится в пределах от mmjn до mmax, быть нечетным, так как при четном m в островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гистограммы оказываются два равных по высоте столбца и середина кривой распределения искусственно уплощается. В случае, если гистограмма распределения явно двухмодальная, число столбцов может быть увеличено в 1,5-2 раза, чтобы на каждый из двух максимумов приходилось примерно по m интервалов. Полученное значение длины интервала группирования h всегда округляют в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.
Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде D1 = (у1, y1 + h); D2= (y1 +h, y1 + 2h);....; Dm = (yn - h; уn), и подсчитывают число попаданий nk (частоты)результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости)в каждый из интервалов группирования по формуле pk= nk/n, где k=l, 2,..., m.
Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммыпо оси результатов откладываются интервалы Dk в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой pk. В этом случае площадь под гистограммой равна единице. При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой — графику плотности распределения вероятности.
Полигонпредставляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы.
Рисунок 1-Гистограмма, полигон (а) и кумулятивная кривая (б)
Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью х образуется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть равна единице (или числу наблюдений при использовании частостей).
Кумулятивная кривая— это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений х (рисунок 1,6) откладывают интервалы Dk в порядке возрастания номеров и
на каждом интервале строят прямоугольник высотой p
По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.
Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизеса—Смирнова (w2). При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207-76. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.
Определение доверительных границ случайной погрешности.Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности А = ±zpS.
Определение границ неисключенной систематической погрешности q результата измерений.Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Доверительная вероятность при определении границ 6 принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.
Определение доверительных границ погрешности результата измерения Dр. Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей Sx̅ и границ неисключенной систематической составляющей q в зависимости от соотношения q/ Sx̅. Результат измерения записывается в виде х = х̅ ± Dp при доверительной вероятности Р = Р. При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде х, S-. п.8 при доверительной вероятности Р = Рд.
Заключение
Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.
Применение рядов предпочтительных чисел представляет собой параметрическую стандартизацию, которая позволяет получить значительный эффект на всех стадиях жизненного цикла изделий (проектирование, изготовление, эксплуатация и др.) Стандартами параметров охватывается большой диапазон характеристик изделий: материалы, заготовки, размерный режущий инструмент, оснастка, контрольные калибры, узлы по присоединительным размерам, выходные параметры электродвигателей и многое другое, что используется в той или иной отрасли промышленности.
