1. Вычислить 
.
Решение
Приведем интеграл к табличному 
с помощью подведения под знак дифференциала выражения 
. Учитывая, что 
, получим:
.
Ответ: 
.
.
2. Вычислить 
.
Решение
На первый взгляд неясно, к какому табличному интегралу приводится этот интеграл. Поэтому наша задача – обнаружить под знаком интеграла некую функцию вместе со своей производной (со своим дифференциалом). Найдем дифференциал от выражения 
:
.
Мы замечаем, что под знаком интеграла есть похожее выражение 
, правда без множителя 4. Умножим и разделим наш интеграл на 4. Получим:
.
Заменим выражение 
, стоящее в числителе, равным ему выражением 
:
.
(введя мысленно замену 
, мы привели интеграл к табличному 
)
Ответ: 
.
3. Вычислить 
.
Решение
Поступим аналогичным образом: найдем дифференциал подкоренного выражения 
:
.
Домножим и разделим подынтегральную функцию на 6, чтобы выделить под знаком интеграла выражение 
:
=[используем равенство 
]= 
.
Ответ: 
.
4. Вычислить 
.
Решение
Заметим, что производная функции 
равна 
, а значит, 
. Заменим в интеграле выражение 
равным ему выражением 
. Получим:
.
Ответ: 
.
5. Вычислить 
.
Решение
Напомним, что надо искать под знаком интеграла функцию вместе со своей производной. Заметим, что 
, а значит, 
. Заменим в интеграле выражение 
равным ему выражением 
. Получим:
.
Ответ: 
.
6. Вычислить 
Решение
Разобьем интеграл на сумму двух интегралов, разделив почленно числитель на знаменатель:
. (*)
Вычислим теперь каждый из полученных интегралов.
Для вычисления интеграла 
воспользуемся подведением под знак дифференциала. Заметим, что 
. Умножим и разделим подынтегральное выражение на –4. Получим:
.
Вычислим теперь второй интеграл 
. Вынесем за знак интеграла постоянный множитель 
для того, чтобы мы могли воспользоваться табличным интегралом XII: 
. Получим:
.
Подставим оба вычисленных интеграла в формулу (*) и получим окончательный ответ:
.
Ответ: 
.
7. Вычислить 
Решение
Разобьем интеграл на сумму двух интегралов, разделив почленно числитель на знаменатель и вычислим каждый из получившихся интегралов.
.
Вычислим интеграл 
. Заметим, что 
. Следовательно,
(см. пример 7).
Для вычисления интеграла 
также воспользуемся методом подведения под знак дифференциала, но теперь под знак дифференциала будем заносить функцию 
, т.к. 
. Имеем:
Тогда исходный интеграл есть сумма полученных интегралов:
.
Ответ: 
.
