О методе расчета показателей надежности восстанавливаемых систем

Одним из основных (инженерных) методов является метод, основанный на использовании понятия графа переходов между состояниями.

Этот метод распадается на два вида:

1) Граф интенсивности перехода. Основное условие использования этого метода это то, что потоки событий простейшие, т.е. отказы и восстановления описываются экспоненциальными законами;

2) Метод переходных матриц вероятностей. В принципе, может быть любой закон распределения вероятности, но инженерное использование его проблематично.

3.2. Метод графа интенсивности перехода

По Колмогорову-Чепмену (в основе метода лежит граф состояний).

Рис. 9. Граф состояний.

1. Устройство в рабочем состоянии;

2. Состояние ремонта;

3. Состояние профилактики.

Интенсивность – величина, обратная соответствующему времени.

Порядок решения:

1) Анализ состояний;

2) Анализ переходов с указанием интенсивности соответствующих событий.

Рассмотрим вопрос о том, как связана вероятность в момент времени и .

, .

Выражение вероятности .

Предположим, что к моменту времени соответствующее исходное состояние (со звездой):

(3.1)

Разлагая в ряд (или дифференциал ) легко можно увидеть, что:

при (типа выходная величина).

Где - интенсивность.

 

рассуждая аналогично для дуги с интенсивностью получим, что

или

(3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Колмогорова-Чепмена.

Если проанализировать эту систему, например, для установившегося режима.

Статика – установившееся состояние.

Определитель этой системы равен нулю.

Из системы одно уравнение убирается, т.к. они линейно-зависимы (одно из уравнений может быть получены из двух других) и заменить его на .

После этого можно получить установившееся значение вероятности и можно получить изменение вероятностей в динамике при заданных начальных условиях.

Пример 3.

1 – Работоспособная система;

2 – Отказ системы.

Рассмотрим изменение состояний в динамике.

Можно записать по Лапласу.

, - начальные условия.

Итак, по Лапласу:

получается система алгебраических выражений:

где - коэффициент готовности.

при .

Рис. 9. Функция готовности

Рис. 10 Вероятность выхода из строя прибора.

Рис. 11. Вероятность безотказной работы.