Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Ряд Фурье

 

Ряд Фурье функции x(t) представляется в виде:

 

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами

 

При расчете коэффициентов ряда Фурье необходимо выбрать начальный момент времени t₀ периода интегрирования. Как правило, значение t₀ выбирают так, чтобы упростить вычисления. Обычно, исходя из этого условия, принимают

t₀=-Т/2. Формулы приобретают следующий вид:

 

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

 

Если функция x(t), описывающая сигнал, является четной, то есть

x(t)=x(-t), то коэффициенты a_n=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только постоянная и косинусоидальные составляющие:

 

Если функция x(t), описывающая сигнал, является нечетной, то есть

x(t)=-x(t), то коэффициенты a_n=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только синусоидальные составляющие:

Получила распространение и другая форма записи тригонометрического ряда Фурье:

где амплитуда A_n и фаза n-ой гармонической составляющей связаны с коэффициентами a_n и b_n соотношениям:

или