Решение систем нелинейных уравнений

Цель: изучение методов решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, практическое решение системы уравнений на ЭВМ, сравнительный анализ рассмотренных методов.

 

, где ; .

 

 

Метод Ньютона

 

Матрица Якоби:

.

 

Пусть задано начальное приближение x[0]. Функцию f(x) линеаризуют в точке x[0], разлагая ее в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка.

Тогда f(x)=0 Þ f(x)=f(x[0])+J([x-x[0])=0.

Получаем линейную систему уравнений. Если J(x[0]) не вырождена, то эта система имеет единственное решение x[1]. Линейную систему удобно решать относительно поправки Dx[0]=x-x[0], а затем вычислять очередное приближение x[1]=x[0]+Dx[0]. В общем случае: x[m+1]=x[m]+Dx[m], где Dx[m] решения линейной системы f(x[m])+J(x[m])Dx[0]=0 или в координатной форме:

 

Метод Ньютона эффективен в достаточно малой окрестности корня (здесь он обладает квадратичной сходимостью).

Критерий итерации

 

Метод Зейделя

Систему заменяют эквивалентной системой:

 

или

 

Такая система может быть получена следующим образом: , где . Задают начальное приближение x[0] и осуществляют процедуру Зейделя:

, i=1,...,n,

 

т.е. уже вычисленные приближения неизвестных x₁[k+1],...,x_i-1[k+1] используются для вычисления x₁[k+1].

Условия прекращения

, i=1,...,n.

 

Сложно получить систему x-j(x) эквивалентную исходной и обеспечивающую сходимость.