Дослідження логістичного рівняння

Практична і лабораторна робота 3 з дисципліни „Моделювання систем”.

Дослідження логістичного рівняння.

 

Поведінку популяції, чисельність якої стабілізується на деякому заданому рівні, часто описують за допомогою логістичного рівняння

dx / dt = rx (1- X / k),(1)

де параметр k задає максимальну густину популяції.

Рівняння (1) є нелінійним звичайним диференціальним рівнянням першого порядку. Це рівняння завдяки простоті має аналітичний розв’язок

, (2)

де X ₀ – початкове значення X (t).

Неважко помітити, що функція (2) за малих t поводить себе як X ₀ e^rt, тобто є розв’язком лінійного диференціального рівняння dx / dt = rx, і лише із зростанням t виявляється нелінійність рівняння (1).

Можливий розв’язок логістичного рівняння (1) показано на рис.1.

 

 

 

Широке використання логістичного рівняння для моделювання розвитку популяцій пояснюється його простотою і такими властивостями:

– за малих X рівняння (1) зводиться до лінійного рівняння dx / dt = rx, тобто ріст іде експоненціально для малих X;

– для більших X величина X з часом прямує до постійного значення k.

 

Текст програми на мові MATLAB-6 наступний.

 

%********* ELABORATION of LOGHISTIC’s EQUATION *************

%********* Основна програма ********************************

сlear;

tlimit=[0, 10]; X0=[0.01];

[t,X]=ode45(@logeq,tlimit,X0);

plot(t,X)

 

%******** Вміст файлу logeq.m ********************************

function dXdt=logeq(t,X)

dXdt=[ 1.5*X*(1-X/2) ];

 

В основній програмі після очищення робочої області пам’яті оператором сlear; задається часовий інтервал розв’язування логістичного рівняння tlimit і початкова умова X0.

Далі знаходимо два вектори розв’язку логістичного рівняння [t,X] за допомогою функції ode45, що розв’язує за методом Рунге-Кутта четвертого порядку. Аргументами функції ode45 є ім’я файла з описом диференціального рівняння, двоелементний вектор початку і кінця інтервалу інтегрування та початкова умова.

Останній оператор основної програми будує графік розв’язку у графічному вікні.

Логістичне диференціальне рівняння (1) описане у файлі з іменем logeq.m. Останній оператор цього файлу містить числові значення двох параметрів логістичного рівняння – r =1.5 і k =2. Змінюючи їх значення, а також значення початкової умови треба дослідити поведінку логістичної кривої (2).

 

Хід лабораторної роботи.

1. Вивчити теоретичну частину.

2. Набрати та відлагодити програму.

3. Отримати логістичну криву для трьох значень параметра r > 0, трьох значень параметра k > 0 та трьох значень початкової умови X (0) > 0, зокрема X (0) < k та X (0) > k.

4. Написати та захистити звіт.