Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Допустим, что имеем зарегистрированный радиоимпульсный сигнал x(t) с несущей частотой wo, который содержит определенную информацию, заключенную в огибающей сигнала u(t) и его фазе j(t):
x(t) = u(t) cos (wot+j(t)). (10.2.1)
Требуется выделить информационные составляющие сигнала
Запишем выражение (10.2.1) в другой форме:
x(t) = a(t)×cos(wot) + b(t)×sin(wot), (10.2.2)
где функции a(t) и b(t) называются низкочастотными квадратурными составляющими сигнала x(t):
a(t) = u(t) cos jt, b(t) = u(t) sin jt.
u(t) = 
, tg j(t) = b(t)/a(t).
С использованием преобразования Гильберта из сигнала x(t) можно сформировать аналитически сопряженный сигнал 
(t). Математическую форму сигнала (t) получим из выражения (10.2.2) с учетом свойства модуляции преобразования Гильберта:
(t) = a(t)×sin(wоt) – b(t)×cos(wot).
z(t) = x(t) + j× 
(t).
Квадрат модуля сигнала z(t):
|z(t)|2 = x2(t)+ 2(t) = a2(t)[cos2(wot)+sin2(wot)] + b2(t)[cos2(wot)+sin2(wot)] = u2(t).
Отсюда, огибающая u(t) и мгновенная фаза f(t) сигнала x(t):
u(t) = 
. (10.2.3)
f(t) = wot+j(t) = arctg[ (t)/x(t)]. (10.2.4)
j(t) = f(t) - mot.
Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения мгновенной фазы:
df(t)/dt = 
. (10.2.5)
Рис. 10.2.1.
Для амплитудно-модулированных сигналов с одной несущей частотой эти результаты достаточно очевидны (см. рис. 10.2.1). Но выражения (10.2.3-10.2.5), полученные из общих соображений, остаются действительными и для любых произвольных сигналов.
На рис. 10.2.2. представлен сигнал, сложенный двумя гармониками:
x(t) = a(t)×cos(w1t) + b(t)×cos(w2t).
Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:
(t) = a(t)×sin(w1t) + b(t)×sin(w1t).
z(t) = x(t) + j× (t).
Рис. 10.2.2.
Огибающая такого сигнала, как это можно видеть на рисунке 10.2.2, должна вычисляться по формуле (10.2.3). При этом для данного сигнала получаем:
u(t) = 
,
что может существенно отличаться от функции 
.
Мгновенная фаза сигнала, график которой приведен на рис. 10.2.3, зависит от времени нелинейно:
f(t) = 
.
Рис. 10.2.3. Рис. 10.2.4.
Мгновенная частота сигнала (рис. 10.2.4) также имеет нелинейную зависимость от времени, причем ее значения могут существенно превышать даже суммарное значение частот, составляющих сигнал:
w(t) = 
.
Аналогичная методика определения огибающих, мгновенных значений фазы и частоты применяется и для анализа случайных процессов.
Огибающие модулированных сигналов. В качестве примера применения огибающих рассмотрим связь форм относительно узкополосных радиосигналов с формой модулирующих сообщений.
Амплитудная модуляция. Уравнение модулированного сигнала:
x(t) = Uo×[1+m×s(t)]×cos wot, s(t) £ 1, m £ 1
Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:
(t) = Uo×[1+m×s(t)]×sin wot, zx(t) = x(t) + j (t).
Огибающая сигнала x(t):
u(t) = |zx(t)| = Uo×[1+m×s(t)],
т.е. точно повторяет форму модулирующего сообщения (см. рис. 10.2.5)
Рис. 10.2.5. Амплитудная модуляция.
Балансная модуляция. Уравнение модулированного сигнала, приведенного на рис. 10.2.6:
x(t) = Uo×s(t)×cos wot,
Квадратурное дополнение, аналитический сигнал, огибающая сигнала x(t):
(t) = Uo×s(t)×sin wot, zx(t) = x(t) + j (t), u(t) = |zx(t)| = Uo×|s(t)|.
Огибающая сигнала x(t) существенно отличается от модулирующего сообщения, но связана с ним простым соотношением.
Рис. 10.2.6. Балансная модуляция.
Анализ каузальных систем. Каузальная (физически осуществимая) линейная система задается односторонним импульсным откликом h(t), t ³ 0, и имеет частотную характеристику H(f):
H(f) = X(f) - jY(f),
Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:
h(t) = x(t) + y(t),
x(t) = 
X(f) cos(2pft) df,
y(t) = Y(f) sin(2pft) df,
где x(t) и y(t) - четная и нечетная части функции h(t). Нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):
y(t) = sgn(t)×x(t). (10.2.6)
Осуществляя обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (10.2.6) при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) Û -j/(pf)), получаем:
TF[y(t)] = (-j/pf) * X(f) = (-j/p) [X(u)/(f-u)] du.
Отсюда:
Y(f) = (1/p) [X(u)/(f-u)] du = ТН[X(f)],
т.е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:
X(f) = -ТН[Y(f)] = -(1/p) [Y(u)/(f-u)] dv.
литература
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.
