Примеры применения аналитических сигналов [1,2]

Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Допустим, что имеем зарегистрированный радиоимпульсный сигнал x(t) с несущей частотой w_o, который содержит определенную информацию, заключенную в огибающей сигнала u(t) и его фазе j(t):

x(t) = u(t) cos (w_ot+j(t)). (10.2.1)

Требуется выделить информационные составляющие сигнала

Запишем выражение (10.2.1) в другой форме:

x(t) = a(t)×cos(w_ot) + b(t)×sin(w_ot), (10.2.2)

где функции a(t) и b(t) называются низкочастотными квадратурными составляющими сигнала x(t):

a(t) = u(t) cos jt, b(t) = u(t) sin jt.

u(t) = , tg j(t) = b(t)/a(t).

С использованием преобразования Гильберта из сигнала x(t) можно сформировать аналитически сопряженный сигнал (t). Математическую форму сигнала (t) получим из выражения (10.2.2) с учетом свойства модуляции преобразования Гильберта:

(t) = a(t)×sin(w_оt) – b(t)×cos(w_ot).

z(t) = x(t) + j× (t).

Квадрат модуля сигнала z(t):

|z(t)|² = x²(t)+ ²(t) = a²(t)[cos²(w_ot)+sin²(w_ot)] + b²(t)[cos²(w_ot)+sin²(w_ot)] = u²(t).

Отсюда, огибающая u(t) и мгновенная фаза f(t) сигнала x(t):

u(t) = . (10.2.3)

f(t) = w_ot+j(t) = arctg[ (t)/x(t)]. (10.2.4)

j(t) = f(t) - m_ot.

Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения мгновенной фазы:

df(t)/dt = . (10.2.5)

Рис. 10.2.1.

Для амплитудно-модулированных сигналов с одной несущей частотой эти результаты достаточно очевидны (см. рис. 10.2.1). Но выражения (10.2.3-10.2.5), полученные из общих соображений, остаются действительными и для любых произвольных сигналов.

На рис. 10.2.2. представлен сигнал, сложенный двумя гармониками:

x(t) = a(t)×cos(w₁t) + b(t)×cos(w₂t).

Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:

(t) = a(t)×sin(w₁t) + b(t)×sin(w₁t).

z(t) = x(t) + j× (t).

Рис. 10.2.2.

Огибающая такого сигнала, как это можно видеть на рисунке 10.2.2, должна вычисляться по формуле (10.2.3). При этом для данного сигнала получаем:

u(t) = ,

что может существенно отличаться от функции .

Мгновенная фаза сигнала, график которой приведен на рис. 10.2.3, зависит от времени нелинейно:

f(t) = .

Рис. 10.2.3. Рис. 10.2.4.

Мгновенная частота сигнала (рис. 10.2.4) также имеет нелинейную зависимость от времени, причем ее значения могут существенно превышать даже суммарное значение частот, составляющих сигнал:

w(t) = .

Аналогичная методика определения огибающих, мгновенных значений фазы и частоты применяется и для анализа случайных процессов.

Огибающие модулированных сигналов. В качестве примера применения огибающих рассмотрим связь форм относительно узкополосных радиосигналов с формой модулирующих сообщений.

Амплитудная модуляция. Уравнение модулированного сигнала:

x(t) = U_o×[1+m×s(t)]×cos w_ot, s(t) £ 1, m £ 1

Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:

(t) = U_o×[1+m×s(t)]×sin w_ot, z_x(t) = x(t) + j (t).

Огибающая сигнала x(t):

u(t) = |z_x(t)| = U_o×[1+m×s(t)],

т.е. точно повторяет форму модулирующего сообщения (см. рис. 10.2.5)

Рис. 10.2.5. Амплитудная модуляция.

Балансная модуляция. Уравнение модулированного сигнала, приведенного на рис. 10.2.6:

x(t) = U_o×s(t)×cos w_ot,

Квадратурное дополнение, аналитический сигнал, огибающая сигнала x(t):

(t) = U_o×s(t)×sin w_ot, z_x(t) = x(t) + j (t), u(t) = |z_x(t)| = U_o×|s(t)|.

Огибающая сигнала x(t) существенно отличается от модулирующего сообщения, но связана с ним простым соотношением.

Рис. 10.2.6. Балансная модуляция.

Анализ каузальных систем. Каузальная (физически осуществимая) линейная система задается односторонним импульсным откликом h(t), t ³ 0, и имеет частотную характеристику H(f):

H(f) = X(f) - jY(f),

Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:

h(t) = x(t) + y(t),

x(t) = X(f) cos(2pft) df,

y(t) = Y(f) sin(2pft) df,

где x(t) и y(t) - четная и нечетная части функции h(t). Нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):

y(t) = sgn(t)×x(t). (10.2.6)

Осуществляя обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (10.2.6) при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) Û -j/(pf)), получаем:

TF[y(t)] = (-j/pf) _* X(f) = (-j/p) [X(u)/(f-u)] du.

Отсюда:

Y(f) = (1/p) [X(u)/(f-u)] du = ТН[X(f)],

т.е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:

X(f) = -ТН[Y(f)] = -(1/p) [Y(u)/(f-u)] dv.

литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.

25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.