Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬ывод рабочей формулы дл€ расчета момента инерции тел враще≠ни€ методом крутильных колебаний




ќпределение моментов инерции тел вращени€

ћетодом крутильных колебаний. ѕроверка теоремы √юйгенса Ц Ўтейнера.

”чебно-методическое пособие

  лабораторной работе є 1.3

¬ладивосток


 

”ƒ 53(о76.5)

ЅЅ  22.36

0-60

 

ќпределение моментов инерции тел вращени€

0-60 методом крутильных колебаний. ѕроверка теоремы √юйгенса Ц Ўтейнера.

0-61 ”чебно-методическое пособие к лабораторной работе є 1.3 по дисциплине Ђфизический практикумї// сост. ¬.≈.ѕолищук, –.‘.ѕолищук. Ц ¬ладивосток: »здательский дом ƒальневост. федерал. ун-та, 2013-с.12.

 

 

ѕособие, подготовленное на кафедре общей физики Ўколы естественных наук ƒ¬‘”, содержит методические указани€ к выполнению лабораторной работы по механике с целью экспериментального изучени€ момента инерции твердых тел вращени€ и проверки теоремы √юйгенса-Ўтейнера.

ƒл€ студентов ƒ¬‘” всех специальностей.

 

”ƒ  53(076.5)

ЅЅ  22.36

—оставители ѕолищук ¬.≈.

ѕолищук –.‘.


ћ»Ќ»—“≈–—“¬ќ ќЅ–ј«ќ¬јЌ»я » Ќј” » –ќ——»…— ќ… ‘≈ƒ≈–ј÷»»

‘едеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образовани€

Ђƒальневосточный федеральный университетї
(ƒ¬‘”)

Ўкола естественных наук

ќпределение моментов инерции тел вращени€ методом крутильных колебаний.

ѕроверка теоремы √юйгенса-Ўтейнера.

”чебно-методическое пособие к лабораторной работе є 1.3

ѕо дисциплине Ђфизический практикумї

¬ладивосток

»здательский дом ƒальневосточного федерального университета


÷елью данной лабораторной работы €вл€етс€ изучение законов ди≠намики вращательного движени€ твердого тела, экспериментальное измере≠ние момента инерции простейших тел вращени€ и проверка теоремы √юй≠генса-Ўтейнера.

ќсновные пон€ти€ вращательного движени€ твердого тела.

 роме пон€ти€ материальной точки, в механике используетс€ модель≠ное пон€тие абсолютно твердого тела Ц тела, деформаци€ми которого в услови€х данной задачи можно пренебречь. “акое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек.

Ћюбое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движени€ Ц поступательное и вращательное. ѕоступательным называ≠етс€ такое движение твердого тела, при кото≠ром люба€ пр€ма€, проведенна€ через любые две точки тела, остаетс€ парал≠лельной самой себе во все врем€ движени€ (рис.1). ѕри таком движении все точки твердого тела движутс€ совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движени€, совершают одинаковые пе≠ремещени€ и проход€т одинаковый путь. —ледовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, масса которой равна массе тела m и примен€ть к нему второй закон Ќьютона динамики материальной точки, т.е.

, (1)

где - результирующа€ всех внешних сил, действующих на тело, - им≠пульс (количество движени€) тела.

¬ращательным движением твердого тела называетс€ движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной пр€мой, называемой осью вращени€ тела. ѕри вращательном движении все точки тела движутс€ с одной и той же угловой скоростью и уг≠ловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещени€. ќднако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг за≠крепленной оси, масса уже не €вл€етс€ мерой его инертности, а сила Ц недо≠статочна дл€ характеристики внешнего воздействи€.  роме того, опыты по≠казывают, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределени€ относительно оси вращени€; зависит не только от силы, но и от точки ее приложени€ и направлени€ действи€. ѕо≠этому, дл€ описани€ вращательного движени€ твердого тела введены новые динамические характеристики такие, как момент силы, момент импульса и момент инерции тела. ѕри этом следует иметь в виду, что существует два разных пон€ти€ этих величин: относительно оси и относительно любой точки ќ (полюса, начала), вз€той на этой оси.

ћоментом силы относительно неподвижной точки ќ называ≠етс€ векторна€ величина, равна€ векторному произведению радиус-вектора проведЄнного из точки ќ в точку приложени€ результирующей силы , на вектор этой силы:

(2)

¬ектор момента силы всегда перпендикул€рен плоскости, в которой распо≠ложены вектора и , а его направление относительно этой плоскости определ€етс€ правилом векторного произведени€ или правилом буравчика. —огласно правила век-торного произведени€, вектор направлен перпендику≠л€рно к плоскости, содержащей векторы и , в такую сторону, чтобы при рассматривании с его конца вектор мог быть совмещен с векто≠ром путем вращени€ против часовой стрелки в сторону меньшего угла. —о≠гласно правила правого буравчика (рис.2), при вращении его ручки в направ≠лении от к в направлении меньшего угла a, поступательное движение буравчика определит направление вектора

ѕри применении этих правил удобно начала векторов и совместить в одной точке. ћожно, например, перенести вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора в точке 0 (на рис.2 этот вектор изображен пунктиром).

¬ектора, направление которых св€зывают с направлением вращени€ (углова€ скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторами или аксиальными в отличие отобычных векто≠ров (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют пол€р≠ными или истинными.

¬еличина вектора момента силы (численное значение момента силы) определ€етс€ согласно формуле векторного произведени€ (2), т.е. , где a - угол между направлени€ми векторов и . ¬ели≠чина p= rЈSinα называетс€ плечом силы (рис.2). ѕлечо силы р - это кратчай≠шее рассто€ние от точки ќ до линии действи€ силы .

ћоментом силы относительно оси, называетс€ проекци€ на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежа≠щей этой оси. ясно, что относительно оси момент силы €вл€етс€ скал€рной величиной. ¬ системе —» момент силы измер€етс€ в ЌЈм. ƒл€ введени€ пон€ти€ момента импульса тела, введем сначала это по≠н€тие дл€ материальной точки, принадлежащей вращающемус€ твердому телу.

ћоментом импульса материальной точки Δm i относительно не≠подвижной точки ќ называетс€ векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки ќ в точку нахождени€ массы Δmi, на вектор импульса этой материаль≠ной точки:

, (3)

где - импульс материальной точки.

ћоментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки ќ называетс€ вектор , равный геомет≠рической сумме моментов импульса относительно этой же точки ќ всех материальных точек данного тела, т.е. .

ћоментом импульса твердого тела относительно оси называетс€ проекци€ на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. —овершенно очевидно, в этом случае мо≠мент импульса €вл€етс€ скал€рной величиной. ¬ системе —» момент им≠пульса измер€етс€ в .

ћерой инертности тел при поступательном движении €вл€етс€ их масса. »нертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределени€ в пространстве относительно оси вра≠щени€. ћерой инертности тела при вращательном движении €вл€етс€ момент инерции тела I относительно оси вращени€ или точки. ћомент инер≠ции, как и масса, величина аддитивна€, скал€рна€.

ћоментом инерции тела относительно оси вращени€ называетс€ физическа€ скал€рна€ величина, равна€ сумме произведений масс матери≠альных точек (на которые можно разбить все тело) на квадратырассто€ний каждой из них до оси вращени€:

, (4)

где I -момент инерции материальной точки.

ћоментом инерции тела относительно точки ќ называетс€ скал€рна€ величина, равна€ сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее рассто€ни€ до точки ќ. –ас≠четна€ формула момента инерции аналогична формуле (4). ¬ системе —» момент инерции измер€етс€ в кгЈм2 .

ћомент инерции твердого тела зависит от массы тела, формы и раз≠мера тела.

ќсновной закон динамики вращательного движени€ твердого тела.

 ажда€ из материальных точек вращающегос€ твердого тела будет двигатьс€ по окружности в плоскости, перпендикул€рной оси вращени€, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. ѕри этом все точки тела в данный момент времени имеют одинако≠вую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение.

–ассмотрим i-материальную точку, масса которой Δmi, а радиус окружности, по которой она движетс€, ri. Ќа нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние силы - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. –азложим результирующую силу , действующую на матери≠альную точку массы Δmi, на две взаимно перпендикул€рные состав≠л€ющие силы и , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направ≠лению с касательной к траектории движени€ частицы, а сила - пер≠пендикул€рна к этой касательной (–ис.3). —овершенно очевидно, что враще≠ние данной материальной точки обусловлено только касательной составл€≠ющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутрен≠ней и внешней сил. ¬ этом случае дл€ материальной точки Δmi второй закон Ќьютона в скал€рном виде будет иметь вид:

(5)

— учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движени€ материальных точек по круговым траекто≠ри€м различны по величине и направлению, а угловые скорости w дл€ всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (5) линейную скорость на угловую (vi=wri):

. (6)

¬ведем в уравнение (6) момент силы, действующей на частицу. ƒл€ этого умножим левую и правую части уравнени€ (6) на радиус ri, который по от≠ношению к результирующей силе €вл€етс€ плечом:

(7)

“огда получим:

, (8)

где каждый член в правой части уравнени€ (8) есть момент соответствующей силы относительно оси вращени€. ≈сли в это уравнение ввести угловое уско≠рение вращени€ материальной точки массы Δmi относительно оси ( = ) и ее момент инерции ΔIi относительно этой же оси( =ΔIi), то уравнение вращательного движени€ материальной точки относительно оси примет вид:

ΔIiЈ = (9)

јналогичные уравнени€ можно записать дл€ всех других материальных точек, вход€щих в данное твердое тело. Ќайдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорени€ дл€ всех материальных то≠чек данного вращающегос€ тела будет одинаковой, получим:

. (10)

—уммарный момент внутренних сил равен нулю, так как кажда€ внут≠ренн€€ сила, согласно третьему закону Ќьютона, имеет равную по вели≠чине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. —уммарный момент Ц есть вращающий момент ћ всех внешних сил, действующих на вращающе≠ес€ тело. —умма моментов инерции =I определ€ет момент инерции дан≠ного тела относительно оси вращени€. ѕосле подстановки указанных вели≠чин в уравнение (10) окончательно получим:

I =M. (11)

”равнение (11) называетс€ основным уравнением динамики вращательного движени€ твердого тела относительно оси. “ак как = , а момент инерции тела относительно данной оси вращени€ €вл€етс€ посто€нной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (11) можно записать в виде:

. (12)

¬еличина Iw=L (13)

называетс€ моментом импульса тела относительно оси. C учетом (13) урав≠нение (12) можно записать в виде:

(14)

”равнени€ (11-14) нос€т скал€рный характер, и примен€ютс€ только дл€ описани€ вращательного движени€ тел относительно оси. ѕри описании вращательного движени€ тел относительно точки (или полюса, или начала), принадлежащей данной оси, указанные уравнени€ соответственно записываютс€ в векторном виде:

(11*); (12*); (13*); (14*).

ѕри сравнении уравнений поступательного (1) и вращательного (11-14) движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в урав≠нени€х стоит ее момент, вместо массы тела Ц момент его инерции, вместо импульса (или количества движени€) Ц момент импульса (или момент коли≠чества движени€).

»з уравнений (14) и (14*) следует, соответственно, уравнение моментов относительно оси и относительно точки:

dL=Mdt (15); (15*).

—огласно уравнению моментов относительно оси (15) Ц изменение мо≠мента импульса тела dL относительно неподвижной оси равно моменту им≠пульса внешней силы Mdt, действующей на тело относительно этой же оси. ќтносительно точки уравнение моментов (15*) формулируетс€: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.

»з уравнений (15) и (15*) вытекает закон сохранени€ момента им≠пульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. »з уравнени€ (15) следует: если суммарный момент всех внешних сил ћ отно≠сительно оси равен нулю (M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращени€ остаетс€ посто€нной величиной (L=Const).

ќтносительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращени€ ќ остаетс€ неизменным, то вектор мо≠мента импульса этого тела относительно этой же точки ќ остаетс€ посто€н≠ным.

¬ данной лабораторной работе определ€ютс€ моменты инерции дл€ про≠стейших тел вращени€. ѕод телом вращени€ понимаетс€ объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. “ело вращени€ всегда имеет ось симметрии. ѕростейшими примерами тел вращени€ €вл€ютс€:

шар Ц образован полукругом, вращающимс€ вокруг диаметра разреза;

цилинд р Ц образован пр€моугольником, вращающимс€ вокруг одной из его сторон;

конус Ц образован пр€моугольным треугольником, вращающимс€ вокруг од≠ного из его катетов и т.п.

¬ рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колеба≠ний определ€ютс€ моменты инерции дл€ тел: сферы, диска, стержн€, полого и сплошного цилиндров.  роме того, экспериментально провер€≠етс€ теорема √юйгенса-Ўтейнера. Ёта теорема позвол€ет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проход€щей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси прохо≠д€щей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.

“еорема √юйгенса-Ўтейнера. ћомент инерции тела относительно лю≠бой оси, не проход€щей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проход€щей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат рассто€ни€ между этими ос€ми: I = Io + mɑ2, где I Ц момент инерции тела от≠носительно искомой оси, (не проход€щей через центр массы тела), Iо мо≠мент инерции тела относительно оси проход€щей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ - рассто€ние между ос€ми.

¬ывод рабочей формулы дл€ расчета момента инерции тел враще≠ни€ методом крутильных колебаний.

 рутильный ма€тник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. — пружиной жестко скреплена ось, свободно вра≠щающа€с€ в штативе. Ќа ось крепитс€ тело, момент инерции которого опре≠дел€етс€. ≈сли эту систему вывести из положени€ равновеси€, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебани€ тела. ѕри крутильных колебани€х на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состо€ни€ равновеси€, а затем со≠общающий телу обратное движение. ¬озвращающий момент силы ћ обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.

 ак показывают эксперименты, в области упругих деформаций круче≠ни€, угол поворота спиральной пружины пр€мо пропорционален проекции момента силы ћ на ось вращени€ z (ћz), т.е.

ћz = - G·φ (16).

 оэффициент пропорциональности G называетс€ угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. »з уравнени€ (11) следует: ћz = Iz· , где = - угловое ускорение, Iz Ц момент инерции тела относительно вращающейс€ оси установки. —ледовательно,

ћz = Iz· (17).

»з (16) и (17) следует равенство: Iz· = - G·φ. »ли

+ = 0 (18)

”равнение (17) €вл€етс€ дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде

2φ = 0, (19)

где ω2 = (20)

”равнение (18) соответствует гармоническому осцилл€тору и описывает его гармонические колебани€, в данном случае колебани€ углового смещени€ ма€тника относительно его положени€ равновеси€. »з решени€ дифференциального уравнени€ (18) следует, что колебани€ крутильного ма€тника €в≠л€ютс€ гармоническими φ = φо·Sin(ω·t +α), где φо Ц амплитуда углового сме≠щени€, равна€ начальному угловому отклонению ма€тника, а ω- цикличе≠ска€ частота колебаний, котора€ св€зана с периодом колебаний соотношением

ω = (21)

»з уравнений (20) и (21) вытекает рабоча€ формула эксперименталь≠ного определени€ момента инерции Iz дл€ предложенных тел вращени€ и проверки теоремы √юйгенса Ц Ўтейнера:

Iz =I= , (22)

ѕодготовка и выполнение лабораторной работы.

–ис.4 ќбщий вид экспериментальной установки и исследуемых тел.

 

 ак видно из рабочей формулы (22) основными параметрами при экспе≠риментальном определении моментов инерции указанных выше тел, €в≠л€етс€ период колебаний тела “ и угловой коэффициент упругости спиральной пружины G. ¬ данной лабораторной работе угловой коэффициент экспериментально уже определен по методике, описанной на стр.12 и имеет значение





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2861 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

541 - | 482 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.041 с.