Совокупность векторов, изображающих токи и напряжения в некоторой цепи, называется векторной диаграммой данной цепи.

Построим векторную диаграмму цепи, приведенной на рис.8. Предположим, что к цепи приложено синусоидальное напряжение

U(t)=U₀^.sin wt,

а по цепи при этом протекает синусоидальный ток:

I(t) = I₀^.sin(wt+j) (19)

Так как элементы цепи R,L и С соединены последовательно, то величина тока в каждый момент времени будет одинакова в каждой точке цепи.

Протекая по участкам цепи R, L и C, ток будет создавать на них падение напряжения с амплитудами:

 

на активном сопротивлении - U_0R = I₀^.R,

на индуктивном сопротивлении - U_0L = I₀^. w L, (20)

на ёмкостном сопротивлении - U_0C = I₀^.1/wC.

 

Направим вектор I₀, отображающий силу тока в цепи, вдоль оси «х» (см. рис. 9). Вектор U_0R, отображающий в определенном масштабе напряжение на омическом сопротивлении направим тоже вдоль оси «х», поскольку это напряжение находится в фазе с током. Вектор U_0L, отображающий в том же масштабе напряжение на индуктивном сопротивлении направим по оси «y» вверх, так как это напряжение опережает ток на 90⁰. Вектор, напряжения на емкостном сопротивлении направим по оси «y» вниз, так как это напряжение отстает от тока на 90⁰. Сложив вектора (по правилам сложения векторов), получим вектор U₀, изображающий полное напряжение, приложенное к цепи.

Как видно на рис. 9, общее напряжение можно найти из прямоугольного треугольника; оно будет равно

 

U₀² = U_0R² +(U_0L-U_0C)² (21)

 

Подставляя сюда значения U_OR,U_OL,U_OC из соотношений (20), получаем

 

U₀² = I₀²R² + I₀²(wL - 1/wC)² (22)

 

Рис.9

 

Решая уравнение (22) относительно I₀, имеем

 

(23)

 

Таким образом, амплитуда силы тока, может быть рассчитана через известные величины. В том же треугольнике угол f определяет фазовый сдвиг между силой тока и напряжением в цепи. Этот фазовый сдвиг будет равен

. (24)

Зная амплитуду силы тока и сдвиг фаз между силой тока и напряжением в рассматриваемой цепи, можно записать выражение для тока. Оно будет иметь вид

sin(wt- f),

где .

 

Формула (23) для I₀ по внешнему виду напоминает закон Ома, поэтому это соотношение называется законом Ома для переменного тока. Её знаменатель называется полным сопротивлением или импедансом цепи Z.

. (25)

В цепях, содержащих последовательно включенные R, L и C наблюдается явление, получившее название "резонанс напряжений". Оно происходит при равенстве величин индуктивного и ёмкостного сопротивлений

. (26)

В этом случае полное сопротивление цепи Z(w_p) равно омическому сопротивлению R, а амплитуда силы тока равна

I_o = U_o/R.

Амплитуда напряжения на активном сопротивлении равна амплитуде приложенного ко всей цепи напряжения (U_OR=I_oR=U_О), в то же время амплитуды напряжений на реактивных сопротивлениях равны:

U _0L = I₀·X_L = U_{0 ,} (27)

U_0C = I₀·X_C = U₀ . (28)

Как видно из (27), (28), в момент резонанса напряжения на реактивных элементах могут быть в X_L/R (X_C/R) раз больше, чем напряжение на омическом сопротивлении.

Следует иметь в виду, что речь идёт об амплитудах напряжений. Для мгновенных значений напряжений, естественно, остаётся справедливым условие

U(t) = U_R(t) + U_L(t) + U_C(t),

которое не противоречит рассмотренному выше, т.к. при резонансе мгновенные значения напряжений U_L(t) и U_C(t) меняются в противофазе и в любой момент времени их сумма равна нулю.

В соответствии с условием (26) частота, при которой наблюдается явление резонанса, равна

w_p = .

Формулы (24) и (25) можно применять и для расчета последовательных цепей, в которых используются не все элементы. Например, реальная катушка индуктивности всегда обладает активным сопротивлением r, поэтому ее полное сопротивление (импеданс) Z_L и сдвиг фаз между током и напряжением будут соответственно равны:

, (27)