Английский ученый Броун (Brawn) обнаружил, что мельчайшие частички цветочной пыльцы, взвешенные в воде, находятся в состоянии непрерывного движения, не подчиняющегося на первый взгляд каким-либо закономерностям.
Эйнштейном и Смолуховским была выдвинута гипотеза, что движение броуновских частиц удовлетворяет уравнению
(1)
где m и r масса и радиус-вектор броуновской частицы, первое слагаемое в правой части представляет собой силу вязкого трения, действующую на частицу, а второе – случайную по величине и направлению силу давления со стороны прилежащих частей жидкости. При этом считалось, что частица находится все время на одной глубине, так что сила тяжести и сила Архимеда уравновешивают друг друга.
Решая это уравнение можно показать, что среднее значение квадрата перемещения <D r 2> шарообразной броуновской частицы прямо пропорционально времени D t, за которое происходит это перемещение:
(2)
где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, h – вязкость жидкости, a – радиус частицы.
Соотношение (2) можно проверить экспериментально. В случае если оно выполняется, можно считать, справедливым и уравнение (1).
Флуктуации давления на границе броуновской частицы легко объяснить с точки зрения молекулярно-кинетических представлений.
Таким образом, справедливость уравнения (2) является косвенным свидетельством молекулярной структуры вещества.
Цель работы: исследование броуновского движения.
Задачи работы:
1. освоение техники наблюдения броуновского движения;
2. наблюдение броуновского движения;
3. знакомство с решением уравнения Эйнштейна–Смолуховского;
4. экспериментальная проверка решения уравнения Эйнштейна–Смолуховского.
Экспериментальная установка
Экспериментальная установка состоит из оптического микроскопа, портативной видеокамеры, ТВ-тюнера и компьютера. Видеокамера установлена над окуляром микроскопа. Увеличение всей системы определяется совокупным увеличением объектива и окуляра микроскопа, а также видеокамерой и размером экрана монитора. Оно зависит от настройки системы и может достигать нескольких тысяч крат. Конкретное значение увеличения указано на установке. ТВ-тюнер подключается через порт USB 2.0 к компьютеру и позволяет, в частности, захват изображения с камеры и его запись в цифровом виде.
В качестве исследуемой жидкости используется сильно разбавленное водой свежее молоко. Этот раствор должен быть практически прозрачным с очень слабой замутненностью. Броуновскими частицами в этом случае являются микроскопические капельки жира. Молоко должно быть не прокисшим. При скисании молока частички жира теряют сферичность и в растворе кроме них начинают двигаться бактерии, имеющие собственные механизмы перемещения, что мешает проведению эксперимента.
Подготовка образца.
1. Очистить предметное стекло микроскопа. Для этого протереть кусочком ваты его поверхность с обеих сторон в промежутке между двумя приклеенными покровными стеклами, либо в имеющемся углублении. Приготовить покровное стекло и также очистить его.
2. Кончиком спички или пипеткой нанести каплю раствора молока на предметное стекло в середину промежутка между приклеенными стеклами (или в углубление). Диаметр капли должен составлять примерно 7 - 8 мм, не более (см. рис. 1). Сразу аккуратно накрыть промежуток покровным стеклом. Если стекло не коснулось капли, то слегка придавить его сверху (например, сухой спичкой) до касания. При этом стараться не испачкать верхнюю поверхность покровного стекла. Капля должна одновременно касаться поверхностей предметного и покровного стекол (см. рис. 2).
3. Отодвинуть предметный столик от объектива микроскопа, вращая соответствующую ручку на корпусе микроскопа.
4. Осторожно поместить образец на предметный столик.
5. Включить электропитание осветителя микроскопа, видеокамеры и компьютера. Запустить приложение VirtualDub. Ярлык VirtualDub находится на «Рабочем столе» компьютера. Далее в окне приложения выполните команду Файл, Захватить AVI…. В результате приложение переходит в режим воспроизведения изображения (режим захвата) от внешнего устройства. Внешними устройствами в нашем случае является камера, вырабатывающая аналоговый видео сигнал, и ТВ-тюнер, преобразующий его в цифровой вид. Для подключения ТВ-тюнера необходимо выбрать в меню команд Устройство -PCTV 100e/150e Device.
6. Открыть диафрагму осветителя. Ручку регулировки яркости осветителя поставить в среднее положение.
7. Ввести каплю образца в просвечивающий пучок микроскопа, вращая винты горизонтального перемещения предметного столика.
8. Вплотную придвинуть образец к объективу, избегая соприкосновения объектива с покровным стеклом. Для этого наблюдать за промежутком между ними сбоку.
9. Плавно отодвигая предметный столик от объектива, получить резкое изображение крупных капелек жира на экране. Они имеют сферическую форму с резкими очертаниями. Первоначально капельки располагаются во всей толще раствора, но постепенно всплывают к покровному стеклу и, оказавшись там, могут перемещаться только в горизонтальной плоскости. Необходимо настроиться на самый верхний слой частиц! Если на экране находится более 5-и частиц, то раствор молока оказался слишком концентрированным. Его необходимо разбавить и сменить образец в микроскопе.
10. Отрегулировать яркость и контрастность изображения с помощью ручек регулировки яркости и диафрагмы осветителя микроскопа. Яркость просвечивающего пучка должна быть по возможности минимальной, иначе раствор нагреется и быстро высохнет.
11. Если все частицы на экране упорядоченно перемещаются, подождать около 1 минуты до исчезновения этого течения.
Проведение измерений.
1. Выбрать на экране активно перемещающуюся броуновскую частицу с диаметром D около 5 мм и вывести ее изображение в центр экрана перемещением предметного столика. Определить как можно точнее ее реальный радиус а с учетом увеличения Ω оптической системы: a =D/2Ω. Увеличение оптической системы равно 2892. Определить также минимальный размер более крупной частицы, броуновское движение которой становится незаметным.
2. Создайте личную папку в каталоге C:\Студент\Броуновское движение. Далее командой Установить захватываемый файл… в меню Файл определить положение (личная папка) и название файла, в который будет записан видео фрагмент.
3. Установить величину временного интервала между кадрами. В меню Захват выберете команду Настройки… и выставите частоту кадров. Частота кадров равная 0,16 соответствует временному интервалу между кадрами 5с. Установить флажок Ждать ОК для захвата.
4. Выставить условия остановки записи видео фрагмента. В меню Захват выберете команду Условия остановки…. Установить флажок на Время захвата превысит и время 100 секунд».
5. Произвести запись фрагмента (захват видео) командой Захват видео в меню Захват. Появится окно с кнопками ОК и отмена. Нажать кнопку ОК.
6. Повторить действия пунктов 1-5 еще для других двух частиц.
7. Выйти из режима захвата командой Выйти из режима захвата из меню Файл.
8. Преобразовать видео файлы в серию фотографий. Для этого в меню Файл выбрать команду Экспорт, а затем — команду Сохранить серию картинок. В окне Фильтр вывода картинок: формат имени файла для серий картинок, которые соответствуют различным частицам, поставьте различные префиксы, например латинские a, b и c. В окне Каталог для хранения картинок: выбрать C:\Студент\Броуновское движение. Установить флажок в Выходной формат: на Windows BMP. Нажать ОК. Закрыть приложение VirtualDub.
9. По окончании измерений отключить электропитание установки. Вынуть и протереть предметное и покровное стекла и положить их в футляры. Снять пленку с экрана.
Обработка результатов эксперимента.
1. Измерение изменения положения броуновской частицы с течением времени производится с помощью приложения «Измеритель» версия 1.0 ЗАО «1С». Для загрузки серии файлов с фотографиями необходимо выполнить команду Загрузить серию… в меню Файл. Далее в окне Открыть… выделить файлы соответствующие одной из частиц и нажать на кнопку Открыть. На экране появится изображение кадра под номером ноль. С помощью мыши и кнопок двойных стрелок в нижней части окна или стрелок перемещения на клавиатуре можно переходить от одного кадра к другому.
2. Нажатие «стрелкой» (кнопка 
) на первую из кнопок 
позволяет создавать объекты «точка» в поле изображения. При переходе к следующему кадру, созданные объекты сохраняются. Зафиксируйте положение выбранной частицы в каждом кадре объектом «точка» начиная с кадра под номером 1.
3. Далее, необходимо для полученной совокупности положений частицы выявить наличие или отсутствие постоянной действующей силы и выбрать систему отсчета. Если траектория частицы вытянута вдоль некоторой прямой, то такое поведение могло быть обусловлено действием постоянной силы. Эта сила, например, может быть вызвана небольшим наклоном предметного столика. Направим вдоль этой прямой ось Y декартовой системы координат. В уравнении Энштейна-Смолуховского постоянная сила не учитывается, поэтому измерять перемещения можно только вдоль оси X перпендикулярной Y.
4. Если траектория частицы не имеет ярко выраженного направления оси системы координат можно ориентировать произвольно и определять перемещения вдоль любой из этих осей. Для создания система координат на рабочее поле нажимаем на кнопку 
, затем щелкаем левой кнопкой мыши на рабочем поле. Появляется декартова система координат и мерный отрезок. При нажатой кнопке перемещаем и ориентируем необходимым образом систему координат. 100 мкм соответствует 72 мм на экране. Поэтому, для задания масштаба, при нажатой кнопке , удлиняем мерный отрезок до 72 мм. Далее фиксируем длину мерного отрезка 0.1 мм в окнах «Мерный отрезок». При нажатии кнопки «Показать таблицу» выводится окно с таблицей на передний план. Далее выбираем вкладку «Точки». Таблица содержит координаты каждой точки.
5. Для отчета необходимо сохранить изображение на экране. Для этого воспользуйтесь командой Экспорт изображения в меню Файл. С помощью команды Содержимое экрана с отрезками на фотографии можно сохранить на жестком диске в виде графического файла, а таблицу экспортировать в Excel. Обе операции можно выполнить с помощью вкладки Файл – Экспорт изображения и Экспорт таблиц в Excel.
6. Далее необходимо измерить изменение координаты X за время
a. D t = 5с D x (D t) = x n+1 - x n,
b. 2D t = 10с D x (2D t) = x n+2 - x n,
c. 3D t = 15с D x (3D t) = x n+3 - x n,
7. где x i координата частицы, x n одна из этих координат, выбранная произвольно.
8. Вычислить среднеквадратичные значения проекций перемещений частицы на ось X для трех промежутков времени по формулам:
9. 
10. где m – число перемещений.
11. Построить график зависимости среднеквадратичного перемещения частицы от времени D x (t). Экспериментальным доказательством справедливости закона Смолуховского-Эйнштейна является линейность графиков
Контрольные вопросы и дополнительные задания.
1. Как оценить размер молекул?
2. Сколько молекул воды вытесняются наблюдаемой броуновской частицей?
3. Почему увеличение размера броуновских частиц приводит к замедлению их движения?
4. Как влияет изменение температуры на броуновское движение?
5. Понятие флуктуации. Флуктуации плотности и температуры.
6. Предположим, что броуновская частица является шаром радиуса 100 мкм. На половину поверхности частицы действует давление p 1, а на другую половину p 2. Какова должна быть разница p 1 – p 2, чтобы за одну секунду частица сдвинулась на расстояние, равное ее радиусу? Вязким трением пренебречь. Во сколько раз должна отличаться концентрация молекул для обеспечения такой разницы давлений?
