Відстань від точки до прямої у просторі. Взаємне розміщення прямих. Обчислення кута між двома прямими

 

Нехай є пряма , що у системі координат задається рівнянням

 

 

і точка . Через пряму і точку поза нею можна провести єдину площину. Проведемо таку площину через пряму та точку (Рис.32.1). На площині проведемо Тоді довжина перпендикуляра і є відстань від точки до прямої.

Рис.32.1

 

Для її знаходження на векторах і будується паралелограм (Рис.32.1).

З одного боку його площа , з іншого - . Отже

 

і

 

Розглянемо тепер дві прямі, які задані канонічними рівняннями

 

 

Для взаємного розміщення прямих у просторі можливі такі варіанти:

1) прямі паралельні або співпадають;

2) прямі перетинаються;

3) прямі не паралельні і не співпадають (мимобіжні).

Якщо прямі паралельні,то їх напрямні вектори і колінеарні. Тому умовою паралельності прямих є умова колінеарності напрямних векторів:

 

 

 

Якщо прямі співпадають, то вектор теж колінеарний до векторів і . Тому умовою співпадання прямих є одночасне виконання умови і наступної рівності:

 

 

У випадку порушення умови прямі і або перетинаються, або є мимобіжними. Якщо прямі перетинаються, то вони розміщуються у одній площині, тоді вектори - компланарні. Умовою компланарності векторів є рівність нулю їх змішаного добутку:

 

 

При порушенні умов і прямі і мимобіжні.

Нехай тепер прямі і перетинаються або мимобіжні. Тоді кут між їх напрямними векторами співпадає з гострим кутом або тупим кутом, що утворюють ці прямі (Рис.32.2)

 

Рис.32.2

 

Кут між напрямними векторами знаходиться за формулою

 

 

Якщо результат за формулою додатний, то , а якщо від'ємний, то . У випадку перпендикулярності прямих виконується рівність