Рівняння прямої у просторі

Будь-яка пряма у просторі може бути задана за допомогою точки ,через яку вона проходить, і ненульового вектора , до якого вона паралельна (Рис.31.1):

Рис.31.1

 

Нехай - довільна точка прямої. Розглянемо вектори , . Тоді вектор Для будь якої точки , що належить прямій, вектори і є колінеарними і за умов колінеарності виконується рівність:

 

 

Рівняння називається канонічним рівнянням прямої у просторі. Вектор , до якого пряма паралельна, називається її напрямним вектором.

З іншого боку, з колінеарності векторів і випливає, що існує число таке, що , або

 

 

Рівняння називається векторним рівнянням прямої у просторі.

Якщо рівняння переписати покоординатно, то отримаємо рівності

 

 

Рівняння - це параметричне рівняння прямої у просторі.

Будь-яка пряма однозначно визначається своїми двома точками. Нехай точки належать прямій. Візьмемо на цій прямій довільну точку . Тоді вектори і завжди знаходяться на одній прямій, а значить є колінеарними. З умови колінеарності векторів маємо

 

 

Таким чином, рівняння прямої, що проходить через дві задані точки має вигляд.

Пряма, як і будь яка інша лінія у просторі, може бути задана загальним рівнянням вигляду. У цьому випадку її необхідно розглядати як результат перетину двох непаралельних площин. При завданні площин загальними рівняннями загальне рівняння прямої, згідно (1.3) має набувати вигляду

 

 

Рівняння визначає у просторі пряму за умови, що нормальні вектори площин не є колінеарними. Тоді один з визначників другого порядку, складених з координат цих векторів, відмінний від 0 і ранг матриці системи та її розширеної матриці дорівнює 2. Отже, ця система завжди сумісна і має нескінченну кількість розв’язків. Нехай - один з них. Тоді точка належить прямій, що визначається. Оскільки вектори і є перпендикулярними до прямої, що утворена перетином площин, то вектор, що дорівнює їх векторному добутку (Рис.31.2), знаходиться так:

 

 

Рис.31.2

 

Тепер можна записати канонічне рівняння прямої, заданої загальним рівнянням:

 

.