Поняття рівняння поверхні і лінії у просторі. Рівняння сферичної поверхні

Розділ II. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

 

Аналітична геометрія – це розділ математики, який вивчає геометричні об’єкти (поверхні, лінії, фігури) за допомогою методів алгебри, базуючись на методі координат. Метод координат дозволяє кожній точці поверхні або лінії поставити у відповідність сукупність чисел – координати. Кожна поверхня або лінія вважаються геометричним місцем точок, зв’язаних певними умовами і спільними властивостями. Згідно методу координат ці умови і властивості записуються у вигляді рівнянь або їх систем, які зв’язують між собою координати точок лінії або поверхні. Завдання поверхонь і ліній рівняннями відносно координат точок, що до них належать, дозволяє застосувати для їх дослідження методи алгебри, диференціального числення і апарат векторної алгебри.

 

Поняття рівняння поверхні і лінії у просторі. Рівняння сферичної поверхні.

 

Розглянемо довільне рівняння, що зв’язує між собою три змінних :

 

 

Припустимо, що це рівняння має непорожню множину розв’язків і - один із них. Впорядкована трійка чисел у прямокутній системі координат визначає точку . Сукупності всіх розв’язків рівняння у цій системі координат відповідає геометричне місце точок , яке називається поверхнею (Рис. 26.1).

Рис. 26.1

 

Рівняння називається рівнянням поверхні у заданій системі координат , якщо це рівняння задовольняють координати кожної точки даної поверхні і не задовольняють координати жодної точки, що лежить поза поверхнею.

Стосовно поверхонь аналітична геометрія має розв’язувати наступні задачі: 1) якщо поверхня задана як геометричне місце точок, то необхідно скласти її рівняння у даній системі координат; 2) по заданому рівнянню повинні у обраній системі координат встановити, яку поверхню воно визначає і дослідити її геометричні властивості.

Як приклад розглянемо виведення рівняння сферичної поверхні або сфери.

Сферою (сферичною поверхнею) називається множина всіх точок простору, що знаходяться на однаковій відстані від заданої точки, яка називається центром. Відрізок, що з’єднує довільну точку сфери з центром називається радіусом і має бути заданим.

Нехай у обраній системі координат центром сфери є точка , а її радіус має довжину (Рис 26.2).

Рис. 26.2

 

Розглянемо - довільну точку простору. Ця точка належить сфері тоді і тільки тоді, коли відстань від центра до неї дорівнює радіусу: . Але

 

 

Отже, можна записати рівність

 

,

 

яка після піднесення обох частин до квадрату набуває вигляду:

 

 

Якщо центр сфери збігається з початком координат, то рівняння набуває вигляду:

 

 

Можна бачити, що рівняння є рівнянням другого порядку відносно . Тому кажуть, що сфера є алгебраїчною поверхнею другого порядку.

Лінія у тривимірному просторі може бути утворена в результаті перетину двох поверхонь і : (Рис. 26.3).

Нехай ці поверхні визначаються рівняннями:

 

, .

 

Тоді координати будь-якої точки задовольнятимуть як перше так і друге рівняння, тобто будуть розв’язками системи

 

.

 

Систему рівнянь називають загальним рівнянням лінії у просторі.

Рис.26 3

 

Також лінією у просторі можна вважати геометричне місце точок , кожна координата яких залежить від деякої іншої змінної , яка називається параметром:

 

 

Рівняння називають параметричним рівнянням лінії у просторі. Якщо розглянути ‑ радіус-вектор довільної точки , яка належить лінії і ввести до розгляду вектор , то можна записати у векторному вигляді:

 

 

Рівняння є векторне параметричне рівняння лінії.

Якщо параметру у і надати сенс часу, то лінія, що ними визначається, це траєкторія, по якій рухається матеріальна точка .

 

§27. Загальне рівняння площини і його дослідження.

 

Найбільш простою за властивостями поверхнею є площина. Площина як геометричне місце точок простору може бути визначена за допомогою ненульового вектора , до якого вона перпендикулярна, і точки , через яку вона проходить. Оберемо у просторі систему координат і розглянемо площину, що проходить через точку перпендикулярно до вектора (Рис.27.1).

Рис. 27.1

 

Візьмемо ‑ довільну точку площини і розглянемо вектори , . Вектор для кожної точки, що належить площині, перпендикулярний до вектора . Згідно умові перпендикулярності:

 

або

 

Рівняння є рівнянням площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора .

Останню рівність можна записати наступним чином:

 

,

 

де .

Можна довести, що будь-яке рівняння першого степеня відносно визначає у системі площину, перпендикулярну до вектора . Тому рівняння називається загальним рівнянням площини. Вектор називається нормальним вектором площини.

Оскільки рівняння містить лише перші степені , то площина є алгебраїчною поверхнею першого степеня.

Здійснимо дослідження загального рівняння площини. Це дослідження буде полягати у з’ясуванні розташування площини відносно координатних осей при деяких частинних випадках рівняння.

1. Нехай у рівнянні :

 

 

Можна бачити, що є розв’язком цього рівняння, значить точка належить площині. Тобто у разі відсутності у загальному рівнянні вільного члена площина проходить через початок координат.

2. При рівняння набуває вигляду

 

 

і визначає площину, що перпендикулярна вектору , який є перпендикулярним до осі . Отже площина, що визначається рівнянням паралельна осі . Аналогічно встановлюється, що площини, задані рівняннями

 

‑ паралельні осі ;

 

‑ паралельні осі .

 

3. Якщо , а , то рівняння набуває вигляду:

 

або

 

Нормальний вектор цієї площини перпендикулярний до осей і , тобто перпендикулярний до площини . Тому площина, що визначається рівнянням, є паралельною до координатної площини . Коли при цьому і , то має вигляд і визначає саму площину .

Відповідно:

‑ рівняння площини, паралельної до , ‑ рівняння самої площини .

‑ рівняння площини, паралельної до , ‑ рівняння самої площини .