Повторение опытов. Частная и общая теоремы. Формула Бернулли

Производится несколько независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А. Если опыты производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А во всех опытах одна и та же, если опыты производятся в разных условиях, то вероятность события А от опыта к опыту меняется.

Для первого случая применяется частная теорема для вычисления вероятности того, что событие А при n независимых опытах, в каждом из которых оно появляется с вероятностью p, появится ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

 

С ,

где g = 1- p.

Для второго случая применяется общая теорема о повторении опытов. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, причем вероятность появления события в i-м опыте равна p , а вероятность не появления g = 1- p (i = 1,….n). Согласно этой теореме вероятность того, что в результате n опытов событие А появится m раз, равна коэффициенту при z в выражении производящей функции:

 

,

где p - вероятность появления события А в i-ом опыте.

Общую теорему о повторении опытов можно записать в виде следующей формулы:

 

= .

Раскрывая скобки в левой части и выполняя приведение подобных членов, получим все вероятности: как коэффициенты при нулевой, первой и т.д. степенях z.

3. Случайные величины и их законы распределения вероятностей.

Основные понятия и определения.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Различают непрерывные случайные величины, дискретные и смешанные.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рядом распределения случайной величины называется закон распределения, представленный в виде таблицы, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

 

			...
			...

 

Функция распределения случайной величины X есть вероятность события X<x, где x – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от x и, следовательно, является функцией и обозначается F(x):

 

.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F(-∞)=0.

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F(+∞)=1.

Плотность распределения случайной величины это функция f (x) – производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.

Дифференциальная связь между функцией распределения и плотностью распределения имеет следующий вид:

.

Интегральная связь между функцией распределения и плотностью распределения имеет следующий вид:

.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: f (x)≥0.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

 

.

С помощью функции распределения и с помощью плотности распределения просто решается задача вычисления вероятности попадания случайной величины в определенный интервал: . Вероятность этого события равна:

- через функцию распределения:

;

- через плотность распределения: