Нормальный закон распределения вероятностей. Характеризуется плотностью вероятности вида:

Характеризуется плотностью вероятности вида:

 

 

Этот закон играет исключительно важную роль в теории вероятностей, так как он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Он является двух параметрическим законом и каждый из параметров имеет определенный смысл.

В теории вероятностей доказано, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону равно:

 

Дисперсия нормально распределенной случайной величины равна:

 

Т.е. параметр имеет смысл среднеквадратического отклонения для величины Х.

Так как нормальный закон распределения является симметричным, то его коэффициент асимметрии равен нулю а, так как, все законы распределения по крутизне сравниваются с нормальным законом, то его эксцесс также равен нулю.

Нормальная функция распределения применяется для решения задачи вычисления вероятности попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Для вычисления этой вероятности применяется известная формула

, где функция распределения нормально распределенной случайной величины.

Используя замену переменных получаем выражение для функции распределения:

 

,

Приведенный интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, которая в теории вероятностей называется интегралом вероятности и для нее составлены таблицы. Существует много таких интегралов вероятностей, в данной методичке используется выше приведенный интеграл, но он теперь обозначается как .

Не трудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами

Эта функция и называется нормальной функцией распределения.

Выразим через нее просто функцию распределения .

Как и всякая функция распределения, она обладает свойствами: 1. 2. . 3. неубывающая функция.

Тогда вероятность попадания случайной величины Х на участок от до равна:

.

 

Нормальный закон распределения вероятностей также обладает замечательным свойством, которое в теории вероятностей называется правилом трех сигм.

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания m последовательные отрезки длиной и вычислим вероятность попадания случайной величины Х в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметричная, то достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону. Находим:

;

;

.

Если просуммировать эти числа, то увидим, что их сумма равна 0,5, т.е. делаем вывод, что отклонения нормально распределенной случайной величины от центра рассеивания укладываются в диапазон от - 3 до + 3 .

Это позволяет, зная среднеквадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал ее возможных значений.

Из правила трех сигм вытекает также ориентировочный способ определения среднеквадратического отклонения случайной величины: берётся максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения .