Лекции.Орг
Лекции.Орг
 

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Операции над множествами



Множества. Основные понятия

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому можно только пояснить этот термин. Под множеством понимается собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет. Что касается самих предметов, которые входя во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. Множество не обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей. Множества обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C,…. Множество можно задать списком, перечислив все его элементы:
(1.1)

При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.

 
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

К другому способу задания множества можно отнести порождающую процедуру, например,

(1.2)

В данном случае под выражением можно понимать арифметические операции, или некоторые неформальные описания.

Пример. Множество содержит один элемент: состоит из набора элементов .

Определение множества, как совокупности всех неких объектов, которые обладают неким заданным нам свойством, не всегда может привести к однозначному ответу.

Пример Парадокс Рассела. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.

Символом обозначается отношение принадлежности. Запись означает, что элемент является элементом множества .

Определение 1.1. Множества и считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записать утверждение о том, что множество равно множеству можно при помощи простой формулы

(1.3)

Если множества состоят из разных элементов, то этот факт записывают

(1.4)

ПримерДаны три множества , и . В силу того, что все три множества состоят из одних и тех же элементов, справедлива запись .

Пример 1.2.Даны два множества и . Эти множества нельзя считать равными, так как единственным элементом множества есть множество , множество состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

Определение 1.2. Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, причем , то множество А является подмножеством В. Этот факт обозначают так:

(1.5)

Определение 1.3. Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, причем возможно , то множество В включает подмножеством А:

(1.6)

 

Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. Простые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик Джон Венн (1834-1923), используются для иллюстрации взаимосвязей и в теории вероятности, и в логике, и в статистике и в информатике. В теории множеств сами множества обозначают областями и размещают внутри прямоугольника, который представляет собой некое универсальное множество . Если два множества имеют общие элементы, то такие объекты иллюстрируются перекрывающимися областями.
Джон Венн

 

Пример 1.5. Даны два множества , и . Для этих множеств справедливо , поскольку множество включает множество , и каждый элемент множества есть элемент множества .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и обозначается символом Ø. Пустое множество есть подмножество любого множества.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества обозначают .

Пример 1.6. Дано множество . Тогда =5.

 

Множество всех подмножеств множества называется множеством-степенью и обозначается . Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

Пример 1.7. Дано множество . Множество-степень содержит следующие подмножества:

Операции над множествами

Рассмотрим методы получения новых множеств их уже существующих.

Определение 1.4. Пересечением множеств А и В называется множество С , состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в множество А, и во множество В. Это записывается следующим образом:

(1.3)
Свойства операции пересечения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. ; 4. ; 5. Ø = Ø.
     

Пример 1.7. Если множество А есть интервал (1; 5) а множество В есть интервал (2; 7), то пересечение множеств А и В есть интервал (2; 5): .

Определение 1.5. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или А и В одновременно. Это обозначается следующим образом:

(1.4)
Свойства операции объединения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. (дистрибутивность); 4. ; 5. ; 6. Ø = Ø.
     

Пример 1.8. Если множество А есть отрезок [1; 3] а множество В есть отрезок [2; 5], то объединение множеств А и В есть отрезок [1; 5]: .

Определение 1.6. Дополнением множества А называется множество всех элементов универсального множества U, каждый из которых не принадлежит множеству А.

Дополнение множества А будем обозначать через

Свойства операции дополнения множеств:
  1. ;
  2. Ø

Пример 1.9. Если множество А есть отрезок [1; 3], то множество представляет собой объединение двух интервалов: .

Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В:

. (1.5)

 

Операция вычитания множеств не коммутативна: . Из определения разности множеств следует, что имеет место равенство .

Пример 1.10. Если множество А есть отрезок , а множество В есть отрезок , то разность представляет собой полуинтервал , а полуинтервал .

Определение 1.8. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множествам А и B, но не принадлежащих ихобщим областям.

. (1.6)

 

Другими словами симметрическая разность двух множеств и состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств: либо только , либо только .
Операция симметрической разности для трех множеств ассоциативна:  

Пример 1.11. Если , , то .

Определение 1.9. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всевозможных пар элементов , у которых и .

(1.7)

 

Пример 1.12. Даны два множества: , . Для этих множеств можно составить два варианта декартового произведения этих множеств: и

Из примера видно, что множества и различны.

Пример 1.13. Пусть множество А есть отрезок ,на некоторой прямой, а множество В есть отрезок другой прямой. Тогда декартово произведение , включающее многочисленные пары координат, составит прямоугольник на плоскости.

Для двух конечных множеств и , мощности которых определены как и можно вычислить мощность декартового произведения как





Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 258 | Нарушение авторских прав


Похожая информация:

  1. II. Совместно осуществляемые операции
  2. Административно-правовое обеспечение борьбы с терроризмом. Понятие терроризма; органы, участвующие в борьбе с терроризмом; режим контртеррористической операции
  3. Алгоритмы и аппаратное обеспечение операции в АЛУ
  4. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел
  5. Банки и их виды, основные операции банков
  6. Биологические ритмы. В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1984.— 414 с. боднотекущего периода у Qecarcinus после удаления глазных стебельков [10]; 2) существенное влияние этой операции на захватывание ритма у Procambarus clarkii
  7. В каком размере приостанавливаются операции по счетам налогоплательщика в банках в случае непредставления декларации (п. 3 ст. 76 НК РФ)?
  8. Вопрос 4. Логические операции над понятиями
  9. ВЫДАЧА ДЕНЕГ ПОД ОТЧЕТ СОТРУДНИКАМ АПТЕКИ ОТНОСИТСЯ К РАСХОДНОЙ КАССОВОЙ ОПЕРАЦИИ, ЮРИДИЧЕСКИМ ОСНОВАНИЕМ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ
  10. Депозитные операции коммерческого банка
  11. Если объектом исследования являются финансовые операции
  12. Задание 4. Завершение операции в MS Word, представленной на рисунке, приводит к


© 2015-2017 lektsii.org - Контакты

Ген: 0.092 с.