Лекции.Орг
 

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника


Формулы включения-исключения



Формулы включения-исключения позволяют определить число элементов в объединении нескольких конечных множеств. Рассмотрим случаи двух и трех множеств. Число элементов конечного множества будем обозначать через .

Тогда для двух конечных множеств А и В справедлива формула,

(7.1)

Справедливость этой формулы можно проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна.

Действительно общее количество элементов в объединении двух множеств будет складываться из количества элементов в области А и из количества элементов в области В без двойного подсчета элементов в пересечении двух областей (заштрихованная область)

Для трех конечных множеств А, В и С справедлива формула

(7.2)

 

Общее количество элементов в объединении трех множеств будет складываться из количества элементов в области А, из количества элементов в области и В количества элементов в области С без двойного подсчета элементов в пересечении пар областей (заштрихованная область), но с учетом области тройного наложения.

Пример 1.14.Порезультатам тестов из 25 слушателей студенческой группы 12 человек показали себя как обладатели веселого характера, 16 — проявили себя как замкнутые и 8 не показали себя ни веселыми, ни замкнутыми. Сколько человек оказались одновременно веселого, но не замкнутого характера?

Решение. Пусть А — множество студентов веселого характера, В — множество студентов замкнутого характера, и С — множество студентов не обладающих ни веселым ни замкнутым характером.

Количество студентов, которые имеют либо веселый, либо замкнутый характер, равно . Обозначим через количество студентов веселого, но не замкнутого характера, тогда . Отсюда .

Пример 1.14.В бюро переводов работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один из трех языков — английский, французский и немецкий. Английский язык знают 12 человек, французский — 10 человек, немецкий — 8 человек, английский и французский — 6 человек, английский и немецкий — 4 человека и французский и немецкий — 2 человека. Все три языка знает один человек. Сколько человек работает в бюро переводов? Сколько из них знает только английский язык? Только французский язык? Только немецкий язык?

Решение. Введем следующие множества:

А — множество всех сотрудников, знающих английский язык;

В — множество всех сотрудников, знающих французский язык;

С — множество всех сотрудников, знающих немецкий язык,

D — множество всех сотрудников, знающих английский и французский языки,

E — множество всех сотрудников, знающих английский и немецкий языки.

Из условия задачи можно записать:

 

, ,
, ,

Применяя формулу включения-исключения для трех множеств, получим общее число переводчиков бюро:

 

Продолжим вычисления:

, ,  
, ,

Применим формулу включения-исключения для двух множеств получим

 

Итак, английский язык знают 12 человек, из них еще хотя бы один язык знают 9 человек. Поэтому только английский знают человека.

Аналогично находим, что французский язык и еще хотя бы один язык знают человек. Поэтому число сотрудников, знающих только французский равно .

Только немецкий язык знают человек.





Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 202 | Нарушение авторских прав


Похожая информация:

© 2015-2017 lektsii.org.

Ген: 0.016 с.