Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах

 

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) че-рез площадку dS называется величина, равная:

 

d Φ m = BdS = Bn dS,

(1.7.1)

где B_n = B cosα – проекция вектора B на направление нормали n к площадке dS, α − угол между векторами n и B (рис. 1.7.1). Магнит-ный поток равен числу линий магнитной индукции, пронизывающих замкнутую поверхность в направлении внешней нормали.

 

B_n

 

α B

 

n

 

dS

 

S

 

Рис. 1.7.1

 

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверх-ность S равен

 

Φ m = ∫ BdS = ∫ Bn dS.	(1.7.2)
S	S

 

Если магнитное поле однородно (B = const), а поверхность S пло-ская, то магнитный поток равен

 

Ф m = BS cosα.

(1.7.3)

 

За единицу магнитного потока принимается магнитный поток сквозь плоскую поверхность единичной площади, расположенную пер-пендикулярно к однородному магнитному полю, индукция которого равна единице. В системе СИ единица магнитного потока называется

 

вебером [Вб].

 

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром,называется потокосцеплением ψэтого контура(потоком,сцепленным с контуром). Если контур имеет N витков, то потокосцеп-ление этого контура:

 

Ψ = N Φ m,

(1.7.4)

где Ф _т − поток, пронизывающий один виток контура.

 

В природе отсутствуют элементарные «магнитные заряды», ана-логичные электрическим зарядам, поэтому линии индукции В магнит-ного поля не имеют ни начала, ни конца, т. е. магнитные силовые ли-нии замкнуты. Следовательно, поток Ф _т через любую замкнутую поверхность будет всегда равен нулю, так как число входящих линий

равно числу выходящих силовых линий:
∫
BdS =0или∫ BndS =0.	(1.7.5)
S	S

 

Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной форме:

 

поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверх-ность равен нулю.

 

Так как B = μμ0 H,	то поток вектора H через любую замкнутую
поверхность также равен нулю:
∫ HdS = 0 или ∫ HndS = 0.	(1.7.6)
S	S

 

Для записи теоремы Гаусса для магнитного поля в дифференци-альной форме воспользуемся теоремой Остроградского − Гаусса

∫ A_ndS = ∫ divAdV.

S V

 

 

∫				(1.7.7)
BdS	= 0 ⇒ ∫ div BdV = 0	⇒ div B = 0.

S V

 

Для напряженности магнитного поля получится аналогичное вы-ражение:

 

div H =0.

(1.7.8)

 

Выражения (1.7.7) и (1.7.8) являются дифференциальной формой теоремы Гаусса.

 

Тема 2. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ И ДВИЖУЩУЮСЯ ЗАРЯЖЕННУЮ ЧАСТИЦУ

 

Лекция № 3

 

2.1. Сила Ампера.

 

2.2. Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент конту-ра с током. Механический момент, действующий на контур с током в однородном магнитном поле.

 

2.3. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле.

 

2.4. Сила Лоренца. Масс-спектрометрия.

2.5. Эффект Холла.

 

Сила Ампера.

 

Действие магнитного поля на проводник с током опытным путем было установлено Г. Эрстером и А. Ампером и детально исследовано А. Ампером. На основании опытных данных А. Ампер установил, что сила, с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, равна:

 

dF _A= I dl × B, (2.1.1)

 

где dl − вектор, совпадающий по направлению с током. Модуль силы Ампера определяется как

 

dF A= IBdl sinα,

(2.1.2)

 

где α − угол между векторами dl и B.

 

Направление силы Ампера принято определять по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так,чтобы в нее входил век-тор магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый на 90^о большой палец по-кажет направление силы Ампера, действующей со стороны поля.

 

Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных про-водника с токами I ₁ и I ₂, находящиеся на расстоянии R друг от друга (рис. 2.1.1). Проводник с током I ₁ создает вокруг себя магнитное поле, которое действует на элемент проводника dl с током I ₂. Направление вектора магнитной индукции данного поля определяется правилом правого винта, и его модуль равен:

 

B ₁=μμ₀₂ ^I _π¹ _R, (2.1.3)

а модуль силы с учетом, что sinα = 1, имеет вид dF = I ₂ B ₁ dl.

 

 

 

dF	В 1

 

dl

dl

 

В		dF

 

R

 

Рис. 2.1.1

 

Тогда сила взаимодействия двух проводников с током равна:

dF =μμ		I 1 I 2	dl	и dF = μμ		I 1 I 2	dl	⇒
0 2π R	0 2π R
				(2.1.4)

dF = dF ₁= dF ₂=μμ₀₂ ^{I 1}_π ^I_R ² dl.

Сила взаимодействия на единицу длины проводника в вакууме будет равна:

dF	= μ		2 I 1 I 2	.		(2.1.5)
dl
	0 4π R
При условии, что I 1 = I 2 = 1 А и R = 1 м получим, что	dF	= 2 ⋅10−7 Н/м.
dl

Соотношение (2.1.5) лежит в основе определения единицы силы тока. За единицу силы тока − 1 ампер (А) − принимается сила такого постоянного тока, при прохождении которого по двум параллельным бесконечно длинным проводникам очень малого сечения, располо-женным в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, сила их магнитно-го взаимодействия равна 2·10⁻⁷ Н на каждый метр длины.