Токи при включении и выключении источника тока в электрической цепи (для самостоятельной работы)

Характерным примером явления самоиндукции служат так назы-ваемые токи замыкания и размыкания в электрических цепях постоян-ного тока. При включении (выключении) источника энергии возраста-ние силы тока при замыкании электрической цепи и убывание силы тока при ее размыкании происходит не мгновенно, а постепенно.

Представим себе, что мы замыкаем контур, в результате чего в нем возникает электрический ток. При этом магнитное поле тока возрастает, а следовательно, возрастает и поток магнитной индукции через пло-щадь, ограниченную контуром. Согласно правилу Ленца, возникающий индукционный ток будет создавать поток индукции, компенсирующий увеличение первоначального магнитного потока. Следовательно, инду-цируется ток, создающий магнитное поле, направленное противополож-но магнитному полю первоначального тока. Отсюда заключаем, что ин-дукционный ток направлен противоположно замыкаемому току. Этот индуцируемый ток обратного направления называется током замыка-ния. Ток замыкания уменьшает ток,идущий в контуре.Наличие токазамыкания приводит к тому, что нарастание тока в цепи при его вклю-чении происходит медленнее, чем при отсутствии тока.

Аналогичное явление мы наблюдаем при размыкании цепи. Если в контуре сила тока падает, то при этом уменьшается поток магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром. В контуре инду-цируется ток, создающий по правилу Ленца поток индукции, увели-

I ₀− I

чивающий уменьшающийся поток, т. е. индуцируется ток в том же направлении, в котором шел основной ток. Этот индуцируемый ток называется током размыкания. Ток размыкания направлен в ту же сторону, что и основной ток.

1 ^ε

Рис. 3.5.1

Ток замыкания и размыкания можно наблюдать с помощью схемы, представленной на рис. 3.5.1, содержащей индуктивность L, не зависящую от силы тока I, сопротивление R и источник электро-энергии с э. д. с. ε.

Определим характер изменения силы тока при замыкании элек-трической цепи. Переведем переключатель К в положение 1. В этом случае в цепи будет действовать ЭДС ε источника и ЭДС самоин-

дукции ε _c = − L ^di. Тогда, благодаря явлению самоиндукции, полная
dt		IR =ε+ε_c=ε − L ^di
э. д. с. в контуре будет равна	, откуда сила тока в
контуре окажется равной:					dt
		ε − L ^di

	I =		dt	.	(3.5.1)

	ε			R
Замечая, что величина	= I ₀	– установившееся в цепи значение
R

силы тока, который протекал бы по контуру при отсутствии самоин-дукции, перепишем выражение (3.5.1) в виде:

I ₀− I =	L	dI _.	(3.5.2)

	R dt

Так как значение I ₀ постоянно, то dI можно заменить на – d (I ₀ – I), то-

гда ^d ⁽ ^I ⁰ ⁻ ^I ⁾ = − ^R_L dt. Интегрируя обе части этого выражения, получим:

ln(I ₀	− I) = −	R	t +ln C.	(3.5.3)

		L

Произвольную постоянную ln С определим из условия, что I = 0 при t = 0, откуда ln C = ln I ₀ и выражение (3.5.3) принимает вид:

− I

= −

⇒ I ₀− I = I ₀ e

−

I ₀

или окончательно получим:

I = I ₀(1− e

−

) =

(1 − e

− ^R t

(3.5.4)

(3.5.5)

Это выражение показывает, что при включении э. д. с. ток в цепи не сразу достигает значения I ₀, но достигает его постепенно и теммедленнее, чем больше коэффициент самоиндукции контура L и чем меньше сопротивление контура R. Графически зависимость силы тока от времени при включении изображена на рис. 3.5.2, кривая 1. Теоре-тически ток должен достигнуть своего конечного значения I ₀ лишь через бесконечно большой промежуток времени. Практически для обычных значений коэффициента самоиндукции L, ток достигает сво-его предельного значения весьма быстро.

I ₀

			1
			2

			t

			Рис. 3.5.2
Величина	L	= τ, имеющая размерность времени, называется по-
R

стоянной цепи.

Теперь рассмотрим случай размыкания цепи. Для этого переклю-чатель К (рис. 3.5.1) переведем из положения 1 в положение 2.

Чтобы выяснить характер тока размыкания, предположим, что в некотором контуре первоначально существовала э. д. с., которая под-держивала в нем силу тока I ₀. Затем в момент времени, для которого мы примем t = 0, эта э. д. с. выключается, но контур остается замкну-

тым, причем полное сопротивление его равно R. Тогда в контуре ток прекратится не сразу, но будет продолжать идти еще некоторое время

за счет э. д. с. самоиндукции ε _c = − L ^dI _dt.

Сила тока самоиндукции определится законом Ома: I _c = ^ε _R ^c = − _R^L ^dI _dt.

Это равенство можно переписать в виде: ^dI_I = − ^R_L dt, что пред-

ставляет собой дифференциальное уравнение, определяющее зависи-мость силы тока самоиндукции от времени.

Интегрируя правую и левую части уравнения, получим:

ln I = − ^R t + ln C,	(3.5.6)
L

где С − произвольная постоянная. Значение этой произвольной посто-янной получим из условия, что I = I ₀ при t = 0, откуда: ln I ₀ = ln C. Та-ким образом, получим:

ln	I	= −	R	t,или I = I ₀ e	−	R	t	.	(3.5.7)

			L
I ₀	L

Это соотношение показывает, что с ила тока при выключении э. д. с.

спадает по экспоненциальному закону,при этом спадает тем медлен-

нее, чем больше коэффициент самоиндукции L и чем меньше сопро-тивление R. Зависимость силы тока размыкания от времени графиче-ски представлена на рис. 3.5.2, кривая 2.

Время t ₀, в течение которого сила тока размыкания спадает до поло-вины своей первоначальной величины, определится из соотношения

	R	I		1			L
I = I ₀ e ⁻	L	^t, если в нем положить	=	, откуда t ₀	= ln 2	. Скорость убы-
I ₀		R

вания определяется постоянной времени цепи: τ= _R^L. Величина τ есть

время, в течение которого сила тока уменьшается в e раз (е = 2,72 – осно-вание натурального логарифма).

− ^R t

−

I = I ₀ e

τ _.

(3.5.8)

Существование токов размыкания позволило обнаружить явле-ние сверхпроводимости. При сверхпроводимости R → 0 и ток по-сле выключения э. д. с. будет продолжаться в контуре сколь угодно долго, не ослабевая. Опыты Каммерлинг − Оннеса, приведшие к от-

крытию сверхпроводимости, производились следующим образом: соленоид, концы которого были соединены друг с другом, поме-щался между полюсами электромагнита, после чего охлаждался жидким гелием до температуры, при которой материал его провода становился сверхпроводящим. Затем магнитное поле электромагни-та выключалось. При этом в соленоиде возникал индукционный ток. При обычных условиях этот ток прекратился бы через весьма малый промежуток времени. При наличии же сверхпроводимости он про-должал идти по соленоиду в течение многих часов, не обнаруживая заметного ослабления.