Закон Био − Савара − Лапласа

Согласно закону Био − Савара − Лапласа элемент проводника dl с током I создает в некоторой точке А индукцию поля, равную:

			I
	dB =μμ			dl	× r		,	(1.2.1)
	4π r 3
где r − радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точ-
ку А. Направление dB	перпендикулярно dl		и r	и совпадает с каса-
тельной к линии магнитной индукции (рис.1.2.1).
	dl
				r
	I						dB

 

Рис. 1.2.1

 

Модуль вектора dB определяется выражением
		dB =μμ		I		dl sinα,		(1.2.2)
		0 4π r 2
где α − угол между векторами dl	и r.
Для напряженности магнитного поля закона Био − Савара − Лап-
ласа будет иметь вид:
		I					I
dH	=		dl × r	и dH =		dl sinα.	(1.2.3)
4 π r 3	4π r 2

Закон Био − Савара − Лапласа совместно с принципом суперпози-ции магнитных полей позволяет найти индукцию магнитного поля, создаваемого проводником любой конфигурации. В этом случае прин-

цип суперпозиции магнитных полей будет иметь вид
B =∫ dB или H =∫ dH.	(1.2.4)

Расчет магнитных полей прямого проводника с током бесконечной и конечной длины.

 

Пусть прямолинейный проводник MN конечной длины с током I лежит в плоскости чертежа (рис. 1.3.1). Согласно закону Био – Сава-

 

ра – Лапласа (1.2.2), вектор магнитной индукции dB перпендикулярен плоскости чертежа и направлен «к нам». Численное значение индук-ции магнитного поля dB, создаваемого в точке А элементом dl про-водника с током I равно:

	dB = μμ0 Idl sinα,	(1.3.1)
		4π r 2
где ϕ – угол между векторами dl	и r.
M
	α D 1	d α
dl C	α	r
I	r 0		B
N	α2
	Рис. 1.3.1

Вектора dB от каждого элемента dl имеют одинаковое направ-

 

ление, так как проводник прямолинейный,	и поэтому суммарная маг-
нитная индукция равна
B =∫ dB =	μμ 0 I	∫ dl sin 2	α .	(1.3.2)
	4π	l	r

 

Преобразуем выражение (1.3.2) таким образом, чтобы магнитная ин-дукция стала функцией одной переменной α. Из рис. 1.3.1 следует, что

r =_sin ^{r 0}_ϕ,а dl =_sin ^CD _ϕ=_sin ^{rd α}_ϕ.

 

Тогда

 

dl =_sin ^{r 0 d} ₂^α_α.

Подставив полученные значения r и dl получим:

_{B =} ^μμ0 ^{I α}_∫² _{sin α d α,}

 

^{4π r} 0 α₁

 

 

в соотношение (1.3.2),

 

(1.3.3)

 

где α₁ и α₂ – значения угла α для крайних точек проводника MN. Проинтегрировав равенство (1.3.3), получим формулу для расчета

 

магнитной индукции прямого проводника с током конечной длины

B =	μμ 0 I (cos α1 − cos α2).	(1.3.4)
	4π r 0

Если проводник MN бесконечно длинный, то α₁ = 0, а α₂ = π. То-гда из (1.3.4) магнитная индукция прямого проводника с током беско-нечной длины в любой точке поля вне проводника равна:

B =	μμ0 I	.	(1.3.5)
4π r

Напряженность магнитного поля вычисляется по формуле H = _μμ ^B ₀

и для прямолинейного проводника с током конечной длины равна:

 

H =	I	(cos α − cos α		),	(1.3.6)
	4π r 0
а для бесконечно длинного проводника:
	H =	I		.			(1.3.7)
	4π r

Лекция № 2

 

1.4. Магнитное поле движущейся заряженной частицы.

 

1.5. Циркуляция вектора магнитной индукции.

 

1.6. Магнитное поле тороида и соленоида.

 

1.7. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля в ин-тегральной и дифференциальной формах.