, , ,
= | A (t) | = e β T | (5.7.1) | |
A (t + T) |
.
-
, . . -
δ = ln = ln | A (t) | =β T. | (5.7.2) | |
A (t + T) |
-
β = 2μ m.
, τ, e
A (t) | = e ⇒ | A 0 e −β t | = e βτ = e 1 | ⇒ βτ = 1 ⇒ τ = | 1 | .(5.7.3) | |||||
A (t + τ) | A 0 e −β(t +τ) | β | |||||||||
, | |||||||||||
β= | 1 | , | (5.7.4) | ||||||||
τ |
. . -, e .
τ Ne = T τ -
Ne = | τ | = | τβ | = | 1 . | (5.7.5) | |||
T | δ | ||||||||
δ | |||||||||
, δ = | |||||||||
Ne | |||||||||
, .
-
Q = | π | = π Ne, | (5.7.6) |
δ |
.
Q, , , - .
, - - . -
, , F = F 0 cos ω t. ,
, .
|
|
ma = − kx − μυ+ F 0cosω t. | (5.8.1) | |||||||||||||||||||
, a = | d 2 x | , υ= | dx | m, | ||||||||||||||||
dt | dt | |||||||||||||||||||
d 2 x | μ dx | k | x | F | cos ω t. | |||||||||||||||
dt 2 | + | + | = | (5.8.2) | ||||||||||||||||
m dt | m | |||||||||||||||||||
m | ||||||||||||||||||||
k | = ω2, | μ | = 2β | F 0 | = f | |||||||||||||||
m | m | m | ||||||||||||||||||
d 2 x | + 2β | dx | = f | cos ω t | − | (5.8.3) | ||||||||||||||
+ω x | ||||||||||||||||||||
dt 2 | dt | |||||||||||||||||||
. | ||||||||||||||||||||
(5.8.3) | ||||||||||||||||||||
x = A cos(ω t +ϕ) | (5.8.4) |
, - .
dx | d 2 x | +ϕ). | ||||
dt = − A ω sin (ω t +ϕ); | dt 2 | = − A ω cos(ω t | (5.8.5) | |||
(5.8.4) (5.8.5) (5.8.3) | ||||||
− A ω2 cos(ω t +ϕ) − 2β A ω sin(ω t +ϕ) +ω2 A cos(ω t +ϕ) = f | cosω t. (5.8.6) | |||||
(A ω02 − A ω2) cos(ω t +ϕ) − 2β A ω sin (ω t +ϕ) = f 0 cos ω t. | (5.8.7) |
cos (ω t +ϕ) = cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ; sin (ω t +ϕ) = cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ .
(A ω02 − A ω2) (cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ) − −2β A ω (cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ) = f 0 cos ω t
(5.8.8)
(5.8.9)
(69) , - cos ω t sin ω t .
|
|
(A ω02 − A ω2) cos ϕ − 2β A ω sin ϕ= f 0 | (5.8.10) | |||||||||||||||||||||||||||
− (A ω02 − A ω2) sin ϕ − 2β A ω cos ϕ= 0 | ||||||||||||||||||||||||||||
(71) | ||||||||||||||||||||||||||||
tg ϕ= − | 2βω | . | (5.8.11) | |||||||||||||||||||||||||
ω − ω | ||||||||||||||||||||||||||||
(70) | ||||||||||||||||||||||||||||
(A ω02 − A ω2) 2 + (2β A ω) 2 = f 02. | (5.8.12) | |||||||||||||||||||||||||||
) | ||||||||||||||||||||||||||||
A | ( | ω0 | − ω | + | 4β | ω | = f 0 | ⇒ | ||||||||||||||||||||
⇒ | A | = | f 02 | ⇒ | ||||||||||||||||||||||||
(ω02 − ω2) 2 + 4β 2 ω2 | ||||||||||||||||||||||||||||
⇒ A = | f 0 | . | (5.8.13) | |||||||||||||||||||||||||
ω | ||||||||||||||||||||||||||||
ω − ω | + 4β | |||||||||||||||||||||||||||
(71) (73) (64) | ||||||||||||||||||||||||||||
x = | f 0 | ω t − arctg | 2βω | . (5.8.14) | ||||||||||||||||||||||||
cos | ||||||||||||||||||||||||||||
ω2 | − ω2 | |||||||||||||||||||||||||||
ω | ||||||||||||||||||||||||||||
ω0 | − ω | + 4β |
5.9.
|
|
, - .
- , , − .
. - max, (ω02 − ω2) 2 + 4β 2 ω2
A = | f 0 | (5.8.13) . | |||||||||||
(ω02 − ω2)2 + 4β 2 ω2 | |||||||||||||
ω | |||||||||||||
d | 2 2 | ||||||||||||
(ω0 | − ω) | + 4β ω | = 0 ⇒ −2 (ω0 | − ω) 2ω+ 8β | ω= 0 | ⇒ | |||||||
d ω | . (5.9.1) |
⇒ ω −ω02 +ω2 + 2β 2 = 0
: ω= 0 ω= ω02 − 2β2. -
. - ( ). , -
ω | = ω2 | − 2β2. | (5.9.2) |
(5.8.13),
A = | f 0 | . | (5.9.3) | ||
2β ω2 | −β2 | ||||
(5.9.3) , -, , (5.9.2), - ( β = 0), - ω0.
ω =ω0. | (5.9.4) |
. 5.9.1. - (5.9.2) (5.9.3), β, - . . 5.9.1 - (5.8.13), - β, .
ω | β1 < β2 < β3 | ||||||
, | |||||||
, - | β1 | ||||||
, f | ω2. | ||||||
β2 | |||||||
- | |||||||
β3 | |||||||
, | |||||||
- | f 0 | ||||||
- | |||||||
- | ω02 | ω0 | ω | ||||
F 0. | . 5.9.1 | ||||||
ω , -, .
|
|
, , β, ,
. (. . β<< ω0) - A ≈ f 0 2βω0. 0
F 0 | , x | = f | ω2 | . | ||||||||||||||
A | f | ω2 | ω | 2π | π | = Q, | ||||||||||||
= | = | = | = | (5.9.5) | ||||||||||||||
x | 2βω | f | 2β T | δ | ||||||||||||||
2β | ||||||||||||||||||
δ = β (5.7.2); Q - (5.7.6).
, Q , - - , . , - .