Распространение колебаний в упругой среде

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распро-страняется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь со-стояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению

к направлению, в котором распространяется волна, различают про-

дольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продоль-ные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и

в жидкостях и газообразных средах.

	Упругая волна называется поперечной, если колебания частиц
S		среды происходят в плоскостях, перпенди-
λ	кулярных к направлению распространения

	υ	волны Поперечные волны могут возникать
		только в такой среде, которая обладает уп-
		ругостью формы, т. е. способна сопротив-

x ляться деформации сдвига. Этим свойст-вом обладают только твердые тела.

^λНа рис. 6.1.1 представлена гармони-

x	ческая поперечная волна, распространяю-
Рис. 6.1.1	щаяся вдоль оси 0 х. График волны дает за-

висимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны также равна тому расстоянию,на которое рас-пространяется определенная фаза колебания за период колебаний

λ = υ T =	υ _.	(9.1.1)
	ν

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0 х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометриче-ское место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны. Фронт волны представляет собой ту по-верхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, назы-вается волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провес-ти через любую точку пространства, охваченного волновым процес-сом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно вол-на в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество парал-лельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концен-трических сфер.

Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое да-ет смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t

S = S (x, y, z, t).

(6.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат x, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания час-тицы с координатами x, y, z, а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0 х совпадает с направлением распространения волны. Тогда вол-новые поверхности будут перпендикулярны оси 0 х и, поскольку все

точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S бу-дет зависеть только от координаты х и времени t

S = S (x, t).

(6.2.2).

Рассмотрим некоторую частицу среды, находящуюся от источ-ника колебаний О на расстоянии х. Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 имеют вид

S (0; t)= A cos(ω t +ϕ₀).

(6.2.3)

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того, чтобы пройти путь от плоско-сти х = 0 до плоскости х, волне требуется время τ = x /υ. Следователь-но, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

S (x; t)= A cosω(t − τ)+ϕ	= A cos	ω t −	x	+ϕ	. (6.2.4)


				υ

где А − амплитуда волны; ϕ ₀ − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t − x υ) +ϕ ₀ = const.

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

				dx
ω dt −	dx	= 0	⇒ υ=	dt	.	(6.2.5)
υ

Таким образом, скорость распространения волны есть скорость пере-мещения фазы, и называется фазовой скоростью.

При υ > 0 волна распространяется в сторону возрастания х. Вол-на, распространяющаяся в противоположном направлении, описыва-ется уравнением

	x
S (x, t)= A cosω t +		+ϕ₀.	(6.2.6)

	υ

Придадим уравнению плоской волны симметричный относи-

тельно х и t вид. Для этого введем величину k = ²_λ^π, которая называ-

ется волновым числом, которое можно представить в виде

			k = ²^π =	2 πν	= ^ω.	(6.2.7)
				λ	λν	υ
Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид
	ω t −	ω		⇒	S (x; t)= A cos(ω t − kx +ϕ₀). (6.2.8)
S (x; t)= A cos	υ	x +ϕ₀

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия вол-ны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника коле-баний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному

закону A = A ₀ e ^−β ^x. Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

S (x, t)= A e ^−β ^x cos(ω t − kx +ϕ).	(6.2.9)

Волновое уравнение

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид

S = A cos(ω t − k ⋅ r ^r+ϕ₀),

(6.3.1)

где r ^r − радиус-вектор, точки волны; k = k ⋅ n ^r − волновой вектор; n ^r − единичный вектор нормали к волновой поверхности.

Волновой вектор −это вектор,равный по модулю волновомучислу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности на-

зывается.
Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x, y, z
r	r	(6.3.2)
k	⋅ r = k _x x + k _y y + k_z z.
Тогда уравнение (6.3.1) примет вид
S (x, y, z; t)= A cos(ω t − k _x x − k _y y − k _z z +ϕ₀).	(6.3.3)

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

∂² S

∂ t

= −ω A cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ ₀) = −ω S;

∂² S

∂ x

= − k _x A cos(ω t − k

⋅ r

+ϕ ₀) = − k _x S

(6.3.4)

∂² S

∂ y

= − k _y A cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ ₀) = − k _y S;

∂² S

∂ z

= − k _z A cos(ω t − k

⋅ r

+ϕ ₀) = − k _z S

Сложив производные по координатам, и с учетом производной

по времени, получим

∂

S ₂

+ ^∂

S ₂

= − (k _x ² + k _y ² + k _z ²) S

= − k ² S =

^S ₂.

(6.3.5)

∂ t

∂ x

∂ y

∂ z

Произведем замену

ω ₂

и получим волновое уравнение

∂ ² S

1 ∂² S

или

S =

1 ∂² S

(6.3.6)

∂ x ²

∂ y ²

∂ z ²

υ ² ∂ t ²

υ² ∂ t ²

где =

∂ ²

∂²

− оператор Лапласа.

∂ x ²

∂ y ²

∂ z ²