Скорость распространения волн в различных средах

 

Для определения скорости упругих волн в упругой среде рас-смотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в на-правлении оси 0 х. Выделим в среде цилиндрический объем с площа-дью основания S ₀ и высотой dx. Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени сме-щение S, то смещение основания с координатой x + dx будет S + dS. Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформациюε=∂ S /∂ x (деформации растяже-ния). Наличие деформации свидетельствует о существовании нор-мального напряжения σ, которое при малых деформациях пропор-ционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия

 

 

σ =	F	= E ε = E	∂ S	,	(6.4.1)
	∂ x
	S 0

где Е − модуль Юнга среды.

 

Из зависимости смещения от координаты х видно, что относи-тельная деформация ∂ S /∂ x, а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х. В соответствии с этим, продольная вол-на состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

 

Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движе-ния. Масса этого объема

 

dm =ρ S 0 dx.

(6.4.2)

 

где ρ − плотность недеформированной среды.

 

Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилинд-ра одинаковым и равным

 

a = d 2 S dt 2.

(6.4.3)

Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F ₁ и F ₂, приложенных к основаниям цилиндра в данный момент време-ни. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно

F =σ S

= E ε S

= E ∂ S

S

∂ x

x

.

(6.4.4)

F =σ

S

= E ε

S

= E ∂ S

S

∂ x

x + dx

После разложения силы F 2 в ряд, получим

∂ S

∂ S

∂ ∂ S

∂ S

∂2 S

F

= ES

= ES

+

dx = ES

+

dx, (6.4.5)

∂ x

x + dx

∂ x

x

∂ x

∂ x

x

∂ x

x

∂ x

x

и результирующая F 1, F 2 сил, действующая на элемент объема равна

F = F

− F

= ES

∂ S

+

∂ 2 S

− ES

∂ S

= ES

∂2 S

dx. (6.4.6)

∂ x

∂ x 2

dx

∂ x

∂ x

x

x

x

x

Используя основное уравнение динамики поступательного дви-жения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим

 

	ρ S	dx	∂ 2 S	= S	E	∂2 S	dx	⇒
	∂ t 2	∂ x 2
	∂ 2 S							∂2 S .	(6.4.7)
ρ	= E	∂ 2 S	⇒		ρ ∂2 S	=
∂ t 2	∂ x 2		E ∂ t 2	∂ x 2

Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для пло-

ской волны (6.3.6) ^{∂2 S} = ^{1 ∂2 S}, получим

∂ x ² υ ² ∂ t ²

 

	=	ρ	⇒ υ=	E	,	(6.4.8)
υ2	E	ρ

где Е − модуль Юнга.

 

Полученное уравнение определяет фазовую скорость продоль-

 

ных упругих волн.

Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид

 

υ=	G	,	(6.4.9)
	ρ

где G − модуль сдвига.

 

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Лекция № 10

 

6.5. Волновой перенос энергии и его характеристики: поток, плотность потока, интенсивность.

 

6.6. Фазовая и групповая скорости волн.

 

6.7. Интерференция упругих волн.

6.8. Стоячие волны.