Кинетическая энергия вращающегося тела

 

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Линейная скорость элементарной массы m_i равна υ _i = ω R_i, где R_i − расстояние от элементарной массы до оси вращения. Кинетическая энергия этой элементарной массы получается выражением

К		=	1 m υ 2	=	1 m ω2 R 2.	(4.9.1)
	i		2 i i		2 ii

Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энер-гий его частей, т. е.

 

n	n	1			=	1		n		(4.9.2)
К =∑ К i =∑		mi ω	Ri		ω	∑ mi Ri.
i =1	i =1					i =1

 

n

Так как величина ∑ m_i R_i ² = I − есть момент инерции тела отно-

i =1

 

сительно оси вращения, то кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

 

	1
К =	2 I ω.	(4.9.3)

Рассмотрим плоское движение тела, которое может быть пред-

 

ставлено как наложение двух движений − поступательного с некото-рой скоростью υ₀ и вращательное вокруг соответствующей оси с уг-

ловой скоростью ω^r.

 

Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр

 

масс тела, т. е.
К =	1 m υ 2	+	1 I	ω2.	(4.9.4)
		c		2 c

Работа силы при вращении тела

 

Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет

 

на изменение его кинетической энергии:
δ A = d К.	(4.10.1)

 

Подставим в последнее выражение уравнение (4.9.3) и продиф-ференцируем

d К= d (1 I z ω2)=	1 I z 2ω d ω= I ω d ω= I z ω d ω dt.	(4.10.2)
		dt
учитывая, что	d ω	=ε и ω dt = d ϕ, получим
	dt
		d К= Iz εω dt = Mz d ϕ.	(4.10.3)
Тогда элементарная работа, совершаемая силами, приложенны-
ми к телу
			δ A = Mz d ϕ,	(4.10.4)
и полная работа при повороте тела на угол ϕ за время t
			ϕ2
			A =∫	M z d ϕ.	(4.10.4)
			ϕ1

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Лекция № 7

 

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

 

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендику-лярных гармонических колебаний.

 

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

5.4. Энергия гармонических колебаний.

 

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

 

Свободные гармонические колебания и их характеристики

Колебания −это движения или процессы,обладающие той или

 

иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются пе-риодическими,если значения физических величин,изменяющихся впроцессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение,

 

амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

 

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

 

x = A cos(ω t +ϕ0)или x = A sin(ω t +ϕ1),

(5.1.1)

 

где ϕ₁ =ϕ₀ − ^π ₂.

 

1) Смещение x −это величина,характеризующая колебания иравная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

 

2) Амплитуда колебаний А −это величина,равная максималь-ному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T −это наименьший промежуток времени,через который система, совершающая колебания, снова возвращается

в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [ T ] = 1 с.

За период система совершает одно полное колебание.

 

4) Частота колебаний ν−это величина,равная числу колеба-ний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица изме-

 

рения [ν]= 1 Гц. Частота определяется по формуле

 

 

ν =			.	(5.1.2)
	T

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершает-ся 2π циклов колебаний, [ω]= с⁻¹. Циклическая частота связана с пе-риодом и частотой колебаний соотношением

 

ω= 2 πν =	2π	.	(5.1.3)
	T

6) Фаза колебаний ω t +ϕ₀−фаза указывает местоположение ко-леблющейся точки в данный момент времени.

 

7) Начальная фаза ϕ₀−указывает местоположение колеблю-щейся точки в момент времени t = 0.