Потенциальная энергия. Связь между силой и энергией потенциального поля

 

Важнейшей составной частью механической энергии является потенциальная энергия,которая определяется как часть общей механи-ческой энергии системы, зависящей от взаимного расположения мате-риальных точек системы и их положения во внешнем силовом поле. Из определения следует, что потенциальная энергия системы не должна зависеть от того, каким образом данная конфигурация частиц системы возникла. Это значит, что понятие потенциальной энергии имеет смысл лишь в том случае, когда на материальные точки системы действуют только консервативные силы. Изменение потенциальной энергии сис-темы должно определяться только работой консервативных сил. Дру-гими словами, работа консервативных сил при переходе из состояния 1 в состояние 2 равна убыли потенциальной энергии

 

A =−(П2−П1).

(3.4.1)

 

Таким образом, силовое поле консервативных сил является по-тенциальным полем.

Полем сил называют область пространства,в каждой точке кото-рого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняю-щаяся от точки к точке. Примером может служить поле силы тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле на-зывают стационарным. Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.

 

Стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пу-ти между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называется потенциальным, а силы, как уже было сказано выше − консервативными. Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным. Силовое поле представляет собой особую форму существования материи, по-средством которой осуществляются гравитационное, электромагнит-ное, ядерное и другие взаимодействия.

Взаимодействие в консервативной системе может быть описано с помощью потенциальной энергии либо с помощью сил взаимодей-ствия точек системы. Поэтому между потенциальной энергией и си-лой, действующей на материальную точку, должна существовать оп-ределенная взаимосвязь. Потенциальная энергия системы является функцией координат П(x, y, z). Пусть силы, действующие на систему, выполнили элементарную работу

 

dA = Fdr ^rr= F_x dx + F_y dy + F _z dz.

 

С другой стороны, используя уравнение (3.4.1)

 

	∂П dx +	∂П dy +
dA = − d П= −	∂П dz.
	∂ x	∂ y	∂ z

 

(3.4.2)

 

 

(3.4.3)

 

Сравнивая выражения (3.4.2) и (3.4.3), получим выражения для проекций сил поля

 

F =

−

∂П

dx,

F =−

∂П

,

F =−

∂П

.

(3.4.4)

x

∂ x

y

∂ y

z

∂ z

Для вектора силы получаем следующее выражение

F r= F i r

+ F r j

+ F k r = −

∂ П i r + ∂ П r j

+

∂ П k r

= −gradП.

(3.4.5)

x

y

z

∂ x

∂ y

∂ z

 

Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие

 

эквипотенциальной поверхности −поверхности,во всех точках кото-

 

рой потенциальная энергия П имеет одно и то же значение. Каждому значению П соответствует своя эквипотенциальная поверхность. Из формул (3.4.4) следует, что проекция вектора на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор нормален эквипотенциальной поверхно-

 

 

сти в данной точке. Далее, возьмем перемещение в сторону уменьше-ния П, тогда П < 0, и, согласно (3.4.4), проекция вектора силы меньше нуля, т. е. вектор направлен в сторону уменьшения П. Так как вектор

 

F противоположен по направлению векторуgradП,то приходим квыводу, что градиент П − это вектор, направленный по нормали к эк-випотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии П.