Нормальное и тангенциальное ускорения при криволи-нейном движении

 

В общем случае при движении тела его скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты

изменения скорости	движения	вводится		υτ	D B	r
понятие ускорения.
			υ C		υ t
	Рассмотрим плоское движение, т. е.		S
такое, при котором все участки траектории A
		r
точкиr	лежат в одной плоскости. Пусть век-	υ		Δυ
тор υ	задает скорость точки А в момент		n	E
времени t. За время	t движущаяся точка
перешла в положение В и приобрела ско-
рость, отличную от υ как по модулю, так и			O
		r	r r
направлению и равную υ1	= υ+ Δυ. Перене-		Рис. 1.4.1
	r			υ (рис.).
сем вектор υ1 в точку А и найдем
Средним ускорением а rср	неравномерного движения в интервале вре-
мени от t до t + t называется векторная величина, равная отношению
r		t:
изменения скорости Δυ к интервалу времени
а rср=	υ.	(1.4.1)
	t

Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) представляет собой предел, к которому стремится выражение (1.4.1) при t → 0, т. е.

r		r		Δυ		r		r
	= lim	=	d υ	=	d 2 r	.
a	= lim a	dt	dt	dt 2
	t →0	ср	t →0

Таким образом, ускорение есть векторная величина, производной скорости по времени.

 

(1.4.2)

 

равная первой

 

Разложим вектор Δυ^r на две составляющие. Для этого из точки А uuur

(рис. 1.4.1) по направлению скорости υ отложим вектор	AD,по мо-
r		uur	r
дулю равный υ1. Очевидно, что вектор	CD	, равный Δυτ, определяет
изменение скорости по модулю за время	t:Δυτ= υ1− υ.Вторая же со-
ставляющая Δυ n вектора υ характеризует изменение	скорости за
время t no направлению.
Тангенциальная составляющая ускорения
a τ=lim	υτ = d υτ	,	(1.4.3)
t →0	t	dt

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, опре-деляя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

 

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В близка к точке А, поэтому s можно считать дугой окружно-сти некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из

подобия треугольников АОВ и ЕАD следует Δυn/ АВ =υ1/ r, но так как
АВ =υΔ t,тоΔυn/	t =υυ1/ r. В пределе при t →0,получим	r	r
υ1	→υ.
Поскольку	r	r	а так как тре-
υ1	→υ, угол ЕАD стремится к нулю,
угольник ЕАD равнобедренный, то угол АDE между υ и	r
Δυ n стремит-
		r		оказываются
ся к прямому. Следовательно, при t →0 векторы υ и Δυ n

взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δυ^r _n, перпендикулярный вектору

 

скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ус-корения, равная

 

a		= lim	Δυ	n =	υ2	.	(1.4.4)
n
	t →0	t	r

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому эту составляю-

 

щую ускорения называют также центростремительным ускорением.

 

Таким образом, полное ускорение тела a есть геометрическая сумма тангенциальной a ^r_τ и нормальной a_n составляющих

a = a rτ+ a r n,

(1.4.5)

 

Тангенциальное ускорение равно первой производной по време-ни от модуля скорости и определяет быстроту изменения скорости по модулю, и направлено по касательной к траектории.

 

Нормальное ускорение определяет быстроту изменения скоро-сти по направлению и _rнаправлено к центру кривизны траектории.

 

Векторы a _τ и a_n взаимно перпендикулярны поэтому модуль полного ускорения равен

a =

a

=

=

d υ 2

υ 2

2

(1.4.6)

a τ

+ an

+

.

dt

R