Теоремы об эквивалентности пар

Теорема 3.2. (Об эквивалентности пар на плоскости). Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны.

Для доказательства рассмотрим две пары (Р, Р ¢) и (F, F ¢), лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты (Рис.3.4).

 

Продолжим линии действия сил пар до их пересечения в точках С и С ¢.

На основании следствия из аксиомы 3 действие сил Р и Р ¢ не изменится, если эти силы перенести в эти точки, то есть (Р, Р ¢) ~ (Р ₁, Р ₁ ¢).

Воспользовавшись аксиомой 4, заменим силу Р ₁составляющими S и T, направленными, соответственно, вдоль линии действия силы F, и по прямой СС ¢. Аналогично поступим с силой Р ₁ ¢, заменив ее составляющими S¢ и T¢.

По построению T = - T¢, поэтому согласно аксиоме 2: (T, T¢) ~ 0 и в соответствии с аксиомой 3 эту систему можно исключить.

Таким образом,

 

(Р, Р ¢) ~ (Р ₁, Р ₁ ¢) ~ ((S, T),(S¢, T¢)) ~ ((S, S¢),(T, T¢)) ~ (S, S¢),

 

то есть пары сил (Р, Р ¢) и (S, S¢) эквивалентны.

Остается доказать эквивалентность пар (S, S¢) и (F, F ¢). Поскольку эти пары имеют равные плечи, они будут эквивалентны, если будут равны их моменты.

По условию теоремы моменты пар (Р, Р ¢) и (F, F ¢) равны. Таким образом:

M (F, F ¢) = M (Р, Р ¢) = M (Р ₁, Р ₁ ¢) = M_C (Р ₁).

 

В силу теоремы Вариньона:

 

M_C (Р ₁) = M_C (S) + M_C (T) = M_C (S),

 

поскольку линия действия силы T проходит через точку С и ее момент равен нулю. Итак:

M (F, F ¢) = M_C (S) = M (S, S¢),

 

а значит пары (S, S¢) и (F, F ¢) будут эквивалентны.

Таким образом: (Р, Р ¢) ~ (S, S¢) ~ (F, F ¢), и теорема доказана.

Рассмотрим следствия этой теоремы, которые также можно рассматривать как свойства пар сил в дополнение к свойствам, рассмотренным в § 3.2.

Следствия:

1. Действие пары сил на ТТ не меняется при ее перемещении в своей плоскости.

2. Действие пары сил на ТТ не изменится, если одновременно изменить плечо и силы пары, сохранив неизменным ее момент.

Рассмотрим в частности пару, представленную силами ± P = M /2e, приложенными к балке в точках х=х_М ±e (Рис.3.5а). Плечо такой пары, равно 2e, а ее момент равен M. При изменении e будут меняться плечо и силы пары, но величина ее момента останется равной первоначальному значению.

Определение 3.3. Моментом называется система, полученная из пары сил ± P = M /2e, при e®0.

Таким образом, термин «момент» имеет в ТМ два значения: 1) момент как произведение силы на ее плечо и 2) момент как система, полученная из пары сил в соответствии с определением 3.3.

Отметим, что при таком предельном переходе плечо пары стремится к нулю, а силы пары – к бесконечности. Полученный в соответствии с определением 3.3 момент фактически является таким же самостоятельным объектом в механике, как и сила, и в дальнейшем мы будем обозначать его так, как показано на рис.3.5б.

 

 

 

 

Если для абсолютно твердого тела последний момент эквивалентен паре сил, показанной на рис. 3.5а, то в механике деформируемого тела действие такого сосредоточенного момента, приложенного в точке х = х_М , существенно отличается от действия пары сил.

 

Теорема 3.3. (Об эквивалентности пар в пространстве). Две пары, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая

Лемма. Равнодействующая двух параллельных и равных по модулю сил равна их сумме, а ее линия действия проходит посредине между точками их приложения (Рис.3.6).

 

Для доказательства леммы достаточно к системе двух сил (P ₁, P ₂), приложенных соответственно в точках A и B, о которых идет речь в теореме, добавить уравновешенную систему сил (T ₁, T ₂), а затем воспользоваться аксиомой параллелограмма:

 

(P ₁, P ₂) ~ ((P ₁, P ₂), (T ₁, T ₂)) ~ ((P ₁, T ₁), (P ₂, T ₂)) ~ (R ₁, R ₂) ~ (R ₁₂ ),

 

где P ₁ = P ₂ = P, R ₁₂ = 2 P, а AС = BC.

Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим две пары сил (P ₁, P ₂) и (F ₁, F ₂), имеющие равные моменты и лежащие в параллельных плоскостях П₁ и П₂ соответственно (Рис.3.7).

Построим в плоскости П₂ отрезок CD, равный и параллельный отрезку АВ и приложим в точках C и D две системы уравновешенных сил: (S ₁, S ₂) ~ 0 и (T ₁, T ₂) ~ 0, выбрав силы S и T равными по модулю и параллельными силам P.

На основании аксиом 2, 3 и последней леммы:

 

(P ₁, P ₂) ~ ((P ₁, P ₂), (S ₁, S ₂), (T ₁, T ₂)) ~ ((P ₁, T ₁), (P ₂, S ₂), (S ₁, T ₂)) ~

~ ((R ₁, R ₂), (S ₁, T ₂)) ~ (S ₁, T ₂),

 

 

поскольку R ₁ ~ (P ₁, T ₁) и R ₂ ~ (P ₂, S ₂) также образуют уравновешенную систему сил, которую можно исключить.

Таким образом, мы получили две пары сил: (S ₁, T ₂) и (F ₁, F ₂), которые лежат в одной плоскости и имеют равные по величине и по знаку моменты. В силу предыдущей теоремы 3.2 они будут эквивалентны, откуда следует, что

 

(P ₁, P ₂) ~ (S ₁, T ₂) ~ (F ₁, F ₂).

Теорема доказана.

Следствие. Действие пары сил на ТТ не изменится при ее перемещении в параллельную плоскость, расположенную в пределах этого тела.

 

ПРИМЕЧАНИЕ. В силу этого следствия вектор-момент пары сил в пределах этого тела можно считать свободным.

 

Сложение пар сил

Теорема 3.4. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре с вектор-моментом, равным геометрической сумме вектор-моментов слагаемых пар.

Для доказательства рассмотрим две пары сил (P ₁, P ₂) и (F ₁, F ₂), лежащие в плоскостях П₁ и П₂ соответственно, которые пересекаются по прямой АВ.

Не уменьшая общности можно считать, что плечи этих пар равны отрезку АВ этой прямой. Пусть М (P ₁, P ₂) = М ₁, а М (F ₁, F ₂) = М ₂ (Рис.3.8).

 

Воспользовавшись аксиомой параллелограмма, получим:

 

((P ₁, P ₂), (F ₁, F ₂)) ~ ((P ₁, F ₁), (P ₂, F ₂)) ~ (R ₁, R ₂).

 

При этом момент результирующей пары с учетом теоремы Вариньона будет равен:

 

М (R ₁, R ₂) = М _А (R ₁) = М _А (P ₁) + М _А (F ₁) = М (P ₁, P ₂) + М (F ₁, F ₂) = М ₁ + М ₂.

 

Теорема доказана.

Следствия:

1. Система n пар в пространстве эквивалентна одной паре с вектор-моментом, равным геометрической сумме вектор-моментов слагаемых пар:

М = М _i (3.3)

2. Система n пар на плоскости эквивалентна одной паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар:

М = М_i (3.4)

ПРИМЕЧАНИЕ. В соответствии с замечанием в конце предыдущего параграфа вектор-момент пары сил в пределах рассматриваемого тела, как в математике, является свободным, поэтому последняя теорема может показаться излишней.

В действительности между векторами в математике и векторами в ТМ продолжает оставаться различие, которое обнаруживается при рассмотрении системы аксиом, которым удовлетворяют векторы в математике и не удовлетворяют вектора сил.

 

 

Равновесие систем пар

Система пар сил, приложенных к ТТ, будет уравновешена, если момент результирующей пары равен нулю.

Таким образом, из соотношений (3.3) и (3.4) следуют условия равновесия системы пар:

1. Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар в пространстве является равенство нулю геометрической суммы вектор-моментов слагаемых пар:

М _i = 0. (3.5)

2. Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар на плоскости является равенство нулю алгебраической суммы моментов слагаемых пар:

М_i = 0. (3.6)

Условие (3.5) имеет геометрическую интерпретацию и означает замкнутость многоугольника, образованного из векторов моментов пар.

 

Пример 3.1. Определить опорные реакции рамы, загруженной системой пар (Рис.3.9).

 

 

 

Решение. Заменим систему пар, приложенных к раме, результирующей парой по формуле (3.4): M_R = M ₁ - M ₂ + M ₃ = 3 - 4 + 7 = 6 кНм.

Из условия равновесия систем пар (3.6) следует, что активную пару M_R, приложенную к раме, может уравновесить только пара сил, образованных опорными реакциями, поэтому линия действия R_A должна быть параллельной R_В и

M_R + M (R_A, R_В) = 0,

 

откуда R_A = R_В = M_R / d, где d = 6cos30°= 3 м - плечо пары (R_A, R_В).

Итак, R_A = R_В = 6/(3 ) = (2 )/3 м. ·