Графическое определение равнодействующей сходящихся сил

Теорема 2.2. Равнодействующая системы сходящихся сил существует, приложена в центре системы, равна их геометрической (векторной) сумме и изображается замыкающей стороной силового многоугольника.

Для доказательства рассмотрим систему сходящихся сил, приложенных в центре О: (Рис.2.2).

 

 

По аксиоме параллелограмма две первых силы этой системы можно заменить равнодействующей R _1-2, которая изображается замыкающей стороной силового треугольника Oab и как вектор равна сумме векторов Р ₁и Р ₂:

 

(P ₁, P ₂) ~ R _1-2 = Р ₁+ Р ₂.

 

Затем точно так же можно найти равнодействующую силы R _1-2 и силы Р ₃, откладывая от точки b вектор bc = Р ₃:

 

(Р ₁, Р ₂, Р ₃) ~ (R _1-2, Р ₃) ~ R _1-3 = Р ₁+ Р ₂ + Р ₃.

 

Продолжая эту процедуру, мы найдем равнодействующую всей системы:

(P ₁, P ₂,..., P _n) ~ (R _{1-(n -1)} , P _n) ~ (R _{1- n} ) ~ R = P _i,

которая изображается замыкающей стороной силового многоугольника Oabcd.

Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.

Универсальным для определения равнодействующей системы сходящихся сил является аналитический метод, к рассмотрению которого мы и переходим.

 

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник - отличный от первого.

2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.

 

Аналитическое задание силы

 

Термин «аналитический» в механике, как и в аналитической геометрии, означает применение системы координат при решении той или иной проблемы.

Определение. Проекцией силы Р на ось Ox называется взятая с знаком ± длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца вектора силы.

Эту проекцию обычно обозначают как P_x или X. В соответствии с определением она равна:

 

P_x = X =½ Р ½× cos (Р, i) = P × cosa = (Р × i),

 

где i - единичный вектор оси Ox, а a - угол между ним и силой Р (Рис.2.3). Таким образом:

ì > 0, если 0 £ a< p/2;

P_x í = 0, если a = p/2;

î < 0, если p/2 < a £ p.

 

Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.

Если проекцию силы на какую-либо ось умножить на орт этой оси, мы получим векторную величину, которая равна составляющей силы вдоль этой оси. Очевидно, сила Р является равнодействующей по отношению к своим составляющим, поэтому в соответствии с теоремой 2.2:

 

Р = P_x × i + P_y × j = X× i + Y × j.

 

 

 

Поставим следующую задачу. Пусть известны проекции силы на оси координат - X,Y,Z и координаты точки приложения этой силы - A (x, y, z), а нужно определить вектор силы Р.

Для ее решения построим прямоугольный параллелепипед с вершиной в точке А и со сторонами, равными соответственно X,Y,Z. При этом будем откладывать отрезок длиной X в положительном направлении оси, если X >0 и в противоположном направлении, - если X <0.

Умножая каждую из проекций на орт соответствующей оси, найдем составляющие искомой силы вдоль координатных осей, которые образуют систему сходящихся сил с центром в точке А. Равнодействующая этой системы, согласно теореме 2.2, будет также приложена в точке А и равна вектору:

 

Р = X× i + Y × j + Z× k. (2.1)

 

Таким образом, равнодействующая пространственной системы трех сходящихся сил изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, как на сторонах.

Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:

____________ Р = Ö X 2 + Y 2+ Z 2; cos (Р, i) = X / Р; cos (Р, j) = Y / Р; cos (Р, k) = Z / Р.

(2.2)