Момент силы относительно центра

 

Рассмотрим тело, которое закреплено в центре О и может поворачиваться вокруг оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости чертежа. Приложим в точке А этого тела силу P и выясним, чем определяется вращательное действие этой силы (Рис.3.1).

 

 

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.

Определение 3.1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком произведение модуля силы на ее плечо - то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: M ₀(P) = P × d = 2 S D _OAB.

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил. В общем случае для однозначного описания вращательного действия силы введем следующее определение.

Определение 3.2. Вектор-моментом силы Р относительно центра О называется вектор, который:

- приложен в моментной точке О перпендикулярно к плоскости треугольника, построенного на векторе силы с вершиной в моментной точке;

- направлен по правилу право винта;

- равен по модулю моменту силы Р относительно центра О (Рис3.2а).

Правило правого винта, известное также из курса физики как правило буравчика, означает, что если смотреть навстречу вектор-моменту М ₀(Р), мы увидим вращение силой Р плоскости своего действия, происходящим против хода часовой стрелки.

Обозначим через r радиус-вектор точки приложения силы Р и докажем, что справедлива следующая

Теорема 3.1. Вектор-момент силы Р относительно центра О равен векторному произведению радиус-вектора r и вектора силы Р:

 

М ₀(Р) = (r Р). (3.1)

 

Напомним, что векторным произведением векторов a и b и называется вектор c, который (Рис.3.2б):

 

 

- перпендикулярен к векторам a и b;

- образует с ними правую тройку векторов, то есть, направлен так, что,

смотря навстречу этому вектору, мы увидим поворот от вектора a к вектору b на наименьший угол происходящим против хода часовой стрелки;

- равен по модулю удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах:

½ c ½ = ½ a b ½ = ½ a ½×½ b ½×sin (a, b).

 

Для доказательства теоремы отметим, во-первых, что вектор, равный векторному произведению векторов r и Р будетколлинеарным вектору М ₀(Р). Чтобы убедиться в этом, достаточно отложить эти векторы от одной точки (Рис.3.2в). Итак, (r Р) ­­ М ₀(Р).

Во-вторых, модуль векторного произведения этих векторов будет равен:

 

½ r Р ½= ½ r ½×½ Р ½× sin (r, Р) = P × d =½ М ₀(Р)½,

 

откуда и следует соотношение (3.1).Следствием теоремы (3.1) является

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей сходящихся сил). Вектор-момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно произвольного центра О равен геометрической сумме вектор-моментов всех сил системы относительно этого центра:

М ₀(R) = М _{0 i} (P_i). (3.2)

В самом деле, момент равнодействующей с учетом (3.1) и (2.3) будет равен:

М ₀(R) r R r P_i = (r_i P_i) = М _{0 i} (P_i).

Для плоской системы сходящихся сил геометрическая сумма в (3.2) переходит в алгебраическую:

М ₀(R) = М _{0 i} (P _i).

 

ПРИМЕЧАНИЕ. В учебной литературе термин «момент» применяют для обозначения как момента силы, так и ее вектор-момента.

Пара сил и ее свойства

Определение. Парой называется система двух сил, которые равны по модулю, параллельны и направлены в противоположные стороны.

Пара, приложенная к ТТ, стремится вызвать его вращение. Вращательное действие пары определяется ее моментом, который равен произведению одной из сил пары на ее плечо, то есть расстояние между линиями действия сил пары:

 

M (P, P ¢) = P × d = P ¢× d.

 

Нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений:

1) Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю;

2) Сумма моментов сил пары относительно любой точки равна моменту этой пары.

В общем случае действие пары сил на ТТ определяется тремя факторами:

- плоскостью действия;

- направлением вращения в этой плоскости;

- величиной момента.

Чтобы однозначно определить все эти факторы, вводят понятие вектор-момента пары.

Определение. Вектор-моментом пары сил называется вектор, который:

- перпендикулярен плоскости действия пары;

- направлен по правилу правого винта;

- равен по модулю моменту пары (Рис.3.3).

Нетрудно убедиться, что вектор-момент пары сил можно представить в виде векторных произведений:

 

М (Р, Р ¢) = АВ Р ¢ = ВА Р.

 

 

 

ПРИМЕЧАНИЕ. В последнем определении ничего не сказано о точке приложения вектор-момента пары сил. Обоснования этого будут даны в следующем параграфе.