Признаки равенства треугольников

ПРИЗНАК № 1. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

ПРИЗНАК № 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ПРИЗНАК № 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Свойства равнобедренного треугольника

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине есть одновременно и медиана, и высота.

ТЕОРЕМА. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий основания биссектрис, проведенных к боковым сторонам, параллелен основанию.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий основания высот, проведенных к боковым сторонам, параллелен основанию.

Признаки равнобедренного треугольника

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике высота является и биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана является и биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный.

Задания с решением

1. В треугольнике ABC угол C равен 45°, AD – биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите угол B.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AD – биссектриса, то углы BAD и CAD равны:
BAD = CAD = 30°. С другой стороны, угол BAC = BAD + CAD = 30° + 30° = 60°. Но сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому имеем:

A + B + C = 180°;

60° + B + 45° = 180°;

B = 75°.

Ответ: 75º

2. В треугольнике ABC стороны AC = BC, угол C равен 40°. Найдите внешний угол DBC.

Решение:

 

По условию, треугольник ABC — равнобедренный: AC = BC. Следовательно, углы при основании равны: A = ABC = x. Но сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

A + ABC + C = 180°;

x + x + 40° = 180°;

2 x = 140°;

x = 70°.

Итак, угол ABC равен 70°. Углы ABC и DBC — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Имеем:

ABC + DBC = 180°;

70° + DBC = 180°;

DBC = 110°.

Ответ: 110°

3. В треугольнике ABD угол A равен 48°, а угол АCВ равен 56°. BD = BC. Найдите угол D.

Решение:

В треугольнике BCD BD = BC, поэтому он равнобедренный и углы D и BCD равны, то есть
D = BCD = x.

ACD = ACB + DCB = 56° + x.

Рассмотрим треугольник ADC. В нем сумма углов равна 180°, поэтому:

Ð A + Ð D +Ð ACD = 180°;

48° + x + 56° + x = 180°;

2 x + 104° = 180°;

2 x = 76°;

x = 38°.

Ответ: 38°

4. Отрезок, соединяющий середины сторон AС и ВC треугольника ABC, на 3 см меньше стороны АВ, на 2 см меньше стороны AC и на 1 см меньше стороны СB. Найдите периметр треугольника ABC.

Решение:

По определению ED – средняя линия. Тогда по свойству средней линии AB = 2 ED.

Пусть ED = х, тогда АВ = 2 х. По условию: ED = АВ – 3, ED = AС – 2, ED = СB – 1.

Получаем: х = 2х – 3, откуда х = 3, то есть ED = 3. Тогда АС = 5, СВ = 4. Периметр треугольника АВС равен сумме длин сторон АВ, ВС и АС. То есть .

Ответ: 12см

5. В равнобедренном треугольнике сумма двух углов равна 80°.Найти углы треугольника.

Решение:

Так как треугольник равнобедренный, то углы А и В равны.

Возможны два случая: А + В = 128° или А + С = 128°

1) Если А = В = х и А + В = 128°, то 2 х = 128°, х = 64°, С = 180° – 128° = 52°

2) Если А = В = х и А + С = 128°, то так как А + В + С = 180°, получаем тогда , а С = 180° – 2·52°= 76°

Ответ: 64°, 64°, 52° или 52°, 52°, 76°