Задания для самостоятельного решения. Материалы для самоподготовки

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Материалы для самоподготовки

К ЕГЭ и ГИА

по планиметрии

Часть 1

(треугольники и четырехугольники)

 

 

АННОТАЦИЯ

Учебно-методические материалы, представленные в данном пособии, предназначаются для самоподготовки школьников и абитуриентов к ЕГЭ и ГИА по математике.

По каждой теме в пособии содержится практически весь необходимый для решения задач теоретический материал, формулы и методические рекомендации. Представлено подробное решение основных видов задач по теме, а также приведено большое количество заданий для самостоятельного решения.

Надеемся, что данное пособие поможет учащимся быстро систематизировать знания и овладеть методами решения задач по планиметрии

 

 

СОДЕРЖАНИЕ:

Занятие 1.

Основные понятия геометрии: прямая, отрезок, луч, угол. Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.

Занятие 2

Треугольник. Виды треугольника, теорема о способе определения вида треугольника(следствие из теоремы косинусов).Неравенство треугольника. Периметр треугольника. Медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике. Сумма углов в треугольнике. Внешний угол треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства Средняя линия треугольника.

Занятие 3.

Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

и их значения от некоторых углов

Занятие 4.

.Многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Основные понятия и свойства.

Занятие 5.

Трапеция. Основные понятия и свойства. Средняя линия трапеции.

Занятие 6.

Нахождение площадей треугольников и четырехугольников.

Теорема Вариньона

Занятие7.

Параллельные прямые. Пропорциональные отрезки. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.Подобие треугольников. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

 

 

Занятие 1

Основные понятия геометрии: прямая, отрезок, луч, угол.

Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые.

Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.

 

Прямая, отрезок, луч.

В геометрии (и вообще, в математике) существуют понятия, которым невозможно дать определение. Их принимают как начальные понятия. Смысл этих понятий может быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямой линии являютсяначальными. На основе начальных понятий мы можем дать определения всем остальным понятиям.

Мысленно можно неограниченно продолжить прямую линию в обе стороны. Мы рассматриваем прямую как бесконечную.

Часть прямой линии, ограниченная с одного конца точкой, называется лучом.

Часть прямой, ограниченная двумя точками называется отрезком.

Каждый отрезок имеет длину, выражающуюся положительным числом.

Отрезки называются равными, если при наложении они совпадают.

Равные отрезки имеют равные длины.

Точка, делящая отрезок на два равных отрезка, называется его серединой.

М – середина отрезка СК

Задания с решением.

1. На отрезке АВ длиной 36 см выбрана точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если
АК: ВК = 4: 5.

Решение:

Из отношения АК: ВК = 4: 5 делаем вывод, что АК = 4 х, а ВК = 5 х. Тогда АВ = АК+ВК. Откуда АВ = 4 х + 5 х, то есть АВ = 9 х. Но длина АВ равна 36. Откуда 9 х = 36; х = 4.

Тогда АК = 4 · 4 = 16, ВК = 5 · 4 = 20

Ответ: 16 и 20

2. Точка С принадлежит отрезку АВ, причем АС: СВ = 5: 14.Точка Д принадлежит отрезку СВ, причем СД: ДВ = 3: 4. Найти отношение АД: ДВ

Решение:

Из отношения АС: СВ = 5: 14 делаем вывод, что АС = 5 х, а СВ = 14 х.

Из отношения СД: ДВ = 3: 4 делаем вывод, что СД = 3 у, а ДВ = 4 у.

Тогда СВ = СД + ДВ = 4 у + 3 у = 7 у. Получаем 7 у = 14 х, откуда у = 2 х, а СД = 3 · 2 х = 6 х,
ДВ = 4 · 2х = 8 х. АД = АС + СД = 5 х + 6 х = 11 х. Тогда АД: ДВ = 11 х: 8 х = 11: 8

Ответ 11:8

 

3. Три различные точки А, В, С лежат на прямой а. Длина отрезка АВ равна 10 см, длина отрезка АС равна 3 см. Найти длину отрезка ВС.

Решение:

Три точки А, В, С могут быть расположены на прямой шестью разными способами. Рассмотрим каждый из них.

1)

 

АВ = 10 и не может быть частью отрезка АС, так как АС = 3

2)

 

ВС = АВ – АС = 10 – 3 = 7

3)

 

ВС=АВ+АС=10+3=13

4)

ВС=ВА-СА=10-3=7

 

5)

 

ВС=АВ+ СА=10+3=13

 

6)

 

ВА = 10 не может быть частью отрезка АС, так как АС=3.

Ответ 7 или 13

 

Задания для самостоятельного решения

1. На отрезке АВ выбраны точки M и N. Известно, что АВ=12 см, АМ=8 см, ВN=10см. Найти длину отрезка MN.

2. Дан отрезок АВ=16 см. Точка М – середина отрезка АВ, точка К – середина отрезка МВ. Найти длину отрезка АК

3. Отрезок АВ длина которого 48см разделен точкой С в отношении 1:2, считая от точки А. На отрезке ВС отмечена точка Д так, что ВД= АС.

Найти расстояние между серединами отрезков АС и СД.

4. Три различные точки В, С, Д лежат на прямой. Найти длину отрезка ДВ, если длина отрезка ВС равна 4,2см, а длина отрезка СД равна 5,1 см.

5. Три различные точки А,В,С лежат на прямой. Найти длину отрезка АВ, если он в три раза больше отрезка ВС, а длина отрезка АС равна 24см.

6. На отрезке АД взяты точки В и Е, а на отрезке ВЕ взяли точку С. Длина отрезка АД равна 14 см.. Длина отрезка ВС в три раза меньше длины отрезка АВ. Длины отрезков АВ и СД равны, длина отрезка ЕД составляет длины отрезка ВЕ. Найти длины отрезков ВС и ЕД.

7. Длина прямолинейной дороги от пункта А до пункта Р равна 35 км. Остановки автобуса расположены на этой дороге, начиная от А, в пунктах В,С,Д и Е. Известно, что АС=12км, ВД=11км,СЕ=12км,ВР=26км. Найти АВ, ВС, СД, ВЕ, ЕР.