Углы. Виды углов. Единицы измерения углов

Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые.

Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.

Угол – это геометрическая фигура образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Единицы измерения углов: радиан и градус. Градус – это угол равный 1 / 360 полного угла. Один градус делится на 60 минут (обозначение: 1⁰ = 60'); одна минута – соответственно на 60 секунд (обозначение: 1' = 60'').

Угол в 90⁰ называется прямым; угол, меньший чем 90⁰, называется острым; угол больший чем 90⁰, называется тупым.

Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если они образуют при пересечении прямой угол, Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180⁰.

Два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Вертикальные углы равны.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

 

 

З адания с решением.

1. Найти величины смежных углов, если один из них на 20⁰ больше другого.

Решение:

Обозначим один из углов за х, тогда второй будет равен х +20⁰.Так как углы смежные, то их сумма равна180⁰.

Получаем уравнение х +(х +20⁰)= 180^0. Тогда 2 х =160⁰, х =80⁰.

80⁰ +20⁰ =100⁰

Ответ: 80⁰ и 100⁰

2.^.Даны два смежных угла. одного из этих углов и другого составляют в сумме прямой угол. Найти эти смежные углы.

Решение:

Обозначим один из углов за х. Так как углы смежные, то их сумма равна180⁰. Тогда второй угол будет равен 180⁰ – х.

Составим уравнение: х + (180⁰ – х) =90⁰.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей 28.

Получим: 16 х +7(180⁰ – х)= 28·90⁰

16 х + 7·180⁰ – 7 х = 28·90⁰

9 х = -7·180⁰ + 28·90⁰ Делим обе части уравнения на 9.

х = –7·20⁰ + 28·10⁰

х = –140⁰ + 280⁰

х = 140^{0 -}первый угол, тогда второй равен 180⁰ – 140⁰ =40^0.

Ответ: 140⁰ и 40⁰

3. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых на 280⁰ больше четвертого угла. Найти эти четыре угла.

Решение:

При пересечении двух прямых образовалось две пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны между собой.

Пусть х – величина одного из углов. Тогда смежный с ним угол будет равен 180⁰ – х. Имеем четыре угла: х, х, 180⁰ – х, 180⁰ – х.

Составим уравнение: х + х + (180⁰ – х) = (180⁰ – х)+ 280⁰.

Получаем 2 х =280⁰, х =140⁰, 180⁰ – 140⁰ =40⁰

Ответ: 140⁰, 40⁰, 140⁰ и 40⁰

4. Угол между прямыми a и b равен 17⁰, а угол между прямыми a и c равен 33⁰

Найти угол между прямыми b и c.

Решение:

В задаче возможны два варианта:

а)

 

 

тогда (b,^c)= 17⁰ + 33⁰=50⁰

б)

 

тогда (b,^c)= 33⁰ - 17⁰ =16⁰

Ответ: 50⁰ или 16⁰

5. Отрезки МР и ОК пересекаются в точке Е. Один из углов при вершине Е равен 110º. Найти угол КЕС, где ЕН – биссектриса угла РЕК.

Решение:

В задаче возможны два варианта:

а)

 

 

тогда Ð КЕС= 70⁰: 2 =35⁰

б)

 

 

тогда Ð КЕС= 110⁰: 2 =55⁰

Ответ: 55⁰ или 35⁰