Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

 

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Прямоугольник обладает всеми свойствами и ему присущи все признаки параллелограмма,

кроме того:

ТЕОРЕМА. В прямоугольнике диагонали равны.

ТЕОРЕМА. Если в параллелограмме диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Ромб и его свойства

По определению, ромб – это параллелограмм, все стороны которого равны.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РОМБА

ТЕОРЕМА. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

ТЕОРЕМА. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

ТЕОРЕМА. Диагонали ромба делят его углы пополам.

ТЕОРЕМА. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то параллелограмм является ромбом.

ТЕОРЕМА. Каждая диагональ ромба является его осью симметрии.

Кроме того, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Квадрат и его свойства

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно дать и другое определение квадрата: квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

 

Задания с решением

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть ВМ и СК – биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне ВС. Сумма углов АВС и BCD равна 180°. Углы ОВС и ОСВ – половинки углов АВС и ВСD. Значит, сумма углов АВС и ВСD равна 90°. Из треугольника ВОС находим, что угол ВОС – прямой.

Ответ: 90°.

 

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 12. Найдите его большую сторону.

Решение:

 

 

Углы СВЕ и ВЕА, а также СЕD и ВСЕ — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, СВЕ = ВЕА, а угол СЕD = ВСЕ. Получаем, что треугольники АВС и CDE — равнобедренные, то есть АЕ = АВ, а DЕ = CD. Тогда AD = 12+12 = 24.

Ответ: 24

3. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 8. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Решение:

Пусть СВ =8. Тогда из того, что угол прямоугольника равен 90º и разделен в отношении 1:2, следует, что ДАС = 60º, а САВ =30º. Катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы, следовательно АС = 2 СВ = 2·8=16.

Ответ: 16.

4. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60°.

Решение:

Проведем меньшую диагональ ромба DВ и рассмотрим треугольник ADB.

Поскольку AD = АB =2 как стороны ромба, то треугольник равнобедренный. А поскольку угол DAB равен 60°, то треугольник ADB – равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна.

Ответ: 2

5. Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а тупой угол равен 120°.

Решение:

Если тупой угол равен 120°, то острый угол равен 60°.

Пусть А=60°. Из треугольника АDH следует: . Получаем .

Тогда . Откуда DH =

Ответ: 3

 

6. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 120. Найдите диагонали ромба.

Решение:

 

По условию АС:ВD=3:4=6:8. Тогда АС= 6х и BD=8х.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит, треугольник АОВ – прямоугольный и АО= 3 х и BО = 4 х.

По теореме Пифагора АВ² = АО² + ОВ²

Так как периметр равен 120, а все стороны ромба равны, то АВ = 120: 4 = 30

Получаем:

900=

Откуда , . Тогда АС = 6·6=36 и BD =8·6=48.

Ответ: 36 и 48.

7. Внутренние углы выпуклого четырехугольника относятся как 2: 2, 5: 9, 5: 10. Найти меньший угол.

Решение:

Сумму внутренних углов четырехугольника вычисляем по формуле 180° (n – 2), где число сторон n = 4. Получаем 180° (4 – 2) = 360°. Из отношения углов 2:2, 5:9, 5:10 получаем, что углы равны 2 х, 2,5 х, 9,5 х и 10 х. Получаем уравнение: 2 х +2,5 х +9,5 х +10 х =360°, 24 х = 360°, х = 15°.

Меньший угол равен 2 х, то есть 2·15°=30°

Ответ: 30°