Показатели вариации признака

Средние величины раскрывают важную обобщающую харак­теристику совокупности по варьирующему признаку. Рассчитав их, необходимо уяснить, насколько они показательны, типич­ны или однородны. Одинаковые средние могут характеризовать совершенно разнородные совокупности. Покажем это на элемен­тарном примере, который будем усложнять по мере расчета но­вых показателей вариации.

Предположим, что в одном суде 10 осужденным были назна­чены такие сроки лишения свободы: 1, 2, 3, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 15 лет, а в другом также 10 осужденным было назначено: 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8 лет. Средняя арифметическая в обоих случаях будет одинаковой:

Зс, = £*: «= (1+2 + 3 + 3 + 4 + 9 + 10 + 12 + 13 + 15): 10 = 72: 10 = 7,2 года; х2 = ^х: «= (6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8): 10 = 72: 10 = 7,2 года.

Средние равны, а ряды существенно различаются между со­бой: первый ряд менее однороден, чем второй, следовательно, и средняя первого ряда менее показательна и менее надежна, чем средняя второго.

Для того чтобы наши суждения о различиях подобных вари­ационных рядов были статистически точными, можно прибег­нуть к показателям отклонений различных вариант от средней. Возьмем пока крайние отклонение. В первом ряду отклонения первого члена (1) от средней (7,2) равно-6,2, отклонение десятого члена (15) от средней (7,2) равно+7,8. Во втором ряду аналогичные отклонения равны -1,2 и +0,8. Полученные резуль­таты уже можно математически сопоставлять и измерять. Они подтверждают наши предварительные суждения. Теперь рассчи­таем все отклонения значений признаков обоих вариационных рядов от средней арифметической и сведем эти расчеты в табл. 9.

Таблица 9

Расчет отклонений

 

№ п/п	Первый суд	Второй суд
Сроки лишения свободы м	Отклоне­ния от средней (х-х)	Квадрат отклоне­ний (*-*)'	Сроки лишения свободы (X)	Отклоне­ния от средней (х-х)	Квадрат отклоне­ний (х-.х)
		-6,2	38,44		-1,2	1,44
		-5,2	27,04		-1,2	1,44
		-4,2	17,64		-0,2	0,04
		-4,2	17,64		-0,2	0,04
		-3,2	10,24		-0,2	0,04
		+ 1,8	3,24		-0,2	0,04
		+2,8	7,84		+0,8	0,64
		+4,8	23,04		+0,8	0,64
		+5,8	33,64		+0,8	0,64
		+7,8	60,84		+0,8	0,64
Итого 72		239,60			5,6

Первый и наиболее простой показатель вариации — это раз­мах вариации R. Он исчисляется в виде разности между наиболь­шими и наименьшими значениями варьирующего признака:

В первом суде размах вариации наказания оказался равным Л, = 15 - 1 = 14, а во втором — Кг = 8 - 6 = 2. Различия существен­ны: R} > R2 в 7 раз. Но может случиться так, что и размах вари­ации будет одинаковым, равным. Например, /{, = 15-10 = 5; /?з = 8-3 = 5, хотя ряды существенно различаются между собой. Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений от средней всех значений признака в вариационном ряду. Последнее можно получить, если рассчи­тать отклонения всех вариант от средней (х, - ~х) + (х2 - ~х) + и т. д. (графы 3 и 6 табл. 9) и исчислить среднюю арифметическую из всех отклонений.

При изложении средней арифметической величины мы уста­новили, что сумма всех положительных (которые больше сред­ней) и всех отрицательных (которые меньше средней) отклоне­ний равна нулю, что мы и видим в итоге граф 3 и 6 табл. 9. По­этому при расчете средней арифметической из отклонений не­обходимо абстрагироваться от знаков «+» и «-». В этом случае сум­ма отклонений £(х - х), разделенная на число отклонений п, а при наличии частот — на число /, и будет средним арифмети­ческим отклонением. В связи с этим расчетная формула будет выглядеть так:

В результате мы получили среднее арифметическое (линейное) отклонение, которое обозначается символом d. Это вторая мера измерения вариации признака.

Среднее арифметическое (линейное) отклонение в статис­тическом анализе применяется редко. Обычно используют тре­тий показатель вариации — дисперсию, или средний квадрат от­клонений. Она обозначается символом а (сигма малая в квадра­те) и представляет собой то же среднее арифметическое откло­нение (</), но только отклонения возведены в квадрат и из квад­ратов отклонений исчисляют среднюю величину:

а = — — -, а при наличии частот а =

При расчете дисперсии не надо абстрагироваться от знаков (+ и -) отклонений, так как при возведении в квадрат все знаки отклонений становятся положительными.

Если извлечь корень квадратный из дисперсии, то мы полу­чим следующий, четвертый, показатель вариации — среднее квадратическое отклонение, которое обозначается символом а (сигма малая):

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются наи­более распространенными и общепринятыми показателями вариа­ции изучаемого признака.

В юридической статистике они используются при сравнитель­ных статистических исследованиях, для обоснования ошибки реп­резентативности (ошибки выборки) выборочного наблюдения, а также при изучении корреляционных и иных статистических связей между признаками фактора и признаками следствия, или между причиной и следствием.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение обладают рядом свойств, которые приводятся без доказательств:

1) дисперсия постоянной величины равна нулю;

2) дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на какое-то постоянное число Л;

3) если все варианты умножить на какое-то постоянное чис­ло А, то дисперсия увеличится в А раз, а среднее квадратичес­кое отклонение — в А раз;

4) если все варианты разделить на какое-то постоянное А, то дисперсия уменьшится в А раз, а среднее квадратическое отклонение — в А раз.

Эти и другие свойства дисперсии могут быть использованы для упрощения и оптимизации техники расчетов.

В графах 4 и 7 табл. 9 мы находим квадрат отклонения каж­дой варианты и их суммы. Использовав их, мы и рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для мер нака­зания 1-го и 2-го судов.

Дисперсия о? = 23,96 для первого суда, а среднее квадратическое отклонение: о, = д/of =,/23,96 = 4,9 года. ДисПерсия 02 =

= 0,56 для второго суда, а среднее квадратическое отклонение: о2 = v°2 = Д56 = 0,75.

Таким образом, меры наказаний, вынесенные первым су­дом, отклоняются от среднего на 4,9 года, а вынесенные вто­рым судом — на 0,75 года. Разница достигает 6,5 раза. Это существенно. Таким образом, средняя второго суда действительно более надежна, типична и показательна.

Пятый (по счету) показатель вариации -- это коэффици­ент вариации. В отличие от размаха вариации, среднего линей­ного, среднего квадратического отклонения и дисперсии, ко­торые выражаются в абсолютных и именованных числах, ко­эффициент вариации является показателем относительным. Он выражается в процентах, обозначается символом У и рассчи­тывается по формуле:

где V — коэффициент вариации; о — среднее квадратическое отклонение; х средний арифметический показатель.

В наших примерах коэффициент вариации будет равен: 4,9-100%

= > Для первого суда;

0,75-100% 7,2

= 10,4% для второго суда.

Коэффициент вариации предоставляет большие возможности для сравнительных изучений, поскольку сравнивать, например, средние квадратические отклонения вариационных рядов с разны­ми уровнями непосредственно нельзя. Коэффициент вариации в известной мере является критерием типичности средней. Если он относительно большой (например, выше 40%), то это значит, что типичность такой средней очень невысока. И наоборот, если его значение малое, то средняя является типической и надежной.

Анализ вариационных рядов

С вариационными рядами мы встречались при обосновании выборочного наблюдения, изучении структурных и вариацион­ных группировок, относительных и средних величин. К ним мы вынуждены будем обращаться и в последующих темах. Из пре­дыдущего мы знаем, что вариационный ряд представляет собой группировку по одному признаку и с единственным показате­лем в сказуемом — меняющимся числом единиц совокупности, выраженных в абсолютных или относительных величинах.

Таблица 10 Распределение преступлений по возрасту субъектов

Возраст, лет	До 15	16-20	21-25	26-30	31-35	36-40	41-45	46-50	51-60
Преступле­ния, %

Обратимся к общеизвестному вариационному ряду -- рас­пределению преступлений по возрасту их субъектов. Примером может служить табл. 10 с усредненными показателями для мно­гих стран.

Представленный в табл. 10 интервальный вариационный ряд отражает вполне определенную связь между варьирующим воз­растом и изменением частот (процентами лиц, совершивших пре­ступления). По данным мировой, российской и региональной статистики наблюдается практически одна и та же тенденция распределения правонарушителей по возрасту: с начала возра­ста уголовной ответственности идет рост преступной активно­сти, в 25—30 лет (с некоторыми колебаниями) ее уровень дос­тигает апогея, а затем наступает постепенное снижение'. В этом проявляется определенная закономерность изменения частот в ва­риационных рядах, называемая закономерностью распределе­ния, которая выявляется в больших совокупностях, где слу­чайные отклонения взаимоуничтожаются.

В выявлении реальных закономерностей распределения заклю­чается основная суть анализа вариационных рядов. Все вариации, подчиняясь своей в основе указанной закономерности, имеют много типов особенностей (отклонений), каждая из которых свя­зана с теми или иными причинами, установление которых иг­рает важную роль в статистическом анализе.

Обстоятельства, определяющие тип закономерностей рас­пределения, изучаются на основе качественного (криминоло­гического, уголовно-правового, уголовно-процессуального, ад­министративно-правового, гражданско-правового и т.д.) ана­лиза сути того или иного явления, а именно — тех его свойств и условий, которые определяют изменчивость варьирующего признака. Но к такому изучению приводит лишь выявленный тип закономерностей рядов распределения.

Обратимся к данным табл. 10. Удельный вес преступников с увеличением их возраста растет (прямая зависимость), но, дос­тигнув какого-то уровня, несмотря на продолжающееся увели­чение возраста, снижается до минимума (обратная зависимость). Однако максимум удельного веса (мода) находится не посреди­не ряда (интервал 31—35 лет), а сдвинут к более молодому воз­расту (26—30 лет). Близко к моде располагается доля 21—25 лет и только потом идет 31—35 лет.

Такой сдвиг к молодому возрасту неслучаен. На качествен­ном уровне криминологического анализа давно установлено, что лица молодежного возраста, не имея необходимого жизненного опыта и устойчивых позитивных ориентации, попав в сложные жизненные ситуации, вступают в конфликт с законом чаще, чем люди более зрелого возраста. Это связано, с одной стороны, с недостаточным уровнем их социальной зрелости, с другой -со сложностью возрастной ситуации (ослабление прежнего со­циального контроля со стороны семьи, школы, старших; пере­ход к самостоятельности; физическое достижение взрослости; рост материальных и физических потребностей; необходимость самообеспечения, определения в жизни и т. д.), к правильному решению которой они чаше всего не готовы. Следовательно, объяснение этого традиционного сдвига лежит не в физиологи­ческих, а социальных особенностях возрастного характера.

Приведенные объяснения лежат за пределами юридической статистики, но к ним трудно прийти на основе только логичес­ких умозаключений, даже в данном несложном вопросе. Для этого надо выявить особенности реального статистического распреде­ления значений признака. Чтобы зафиксировать характер имею­щихся отклонений, надо сопоставить реальное распределение с каким-то его эталоном. Такой эталон — теоретическая кривая рас­пределения, которая выражает общую закономерность распреде­ления, исключающего влияние случайных факторов. Эта кривая распределения называется кривой Лапласа—Гаусса, или нормаль­ным распределением. В качестве эталона используются также рас­пределение Пуассона и некоторые другие, но они практически не применяются юридической статистикой.

Учитывая, что общая характеристика нормального распре­деления относительно полно рассматривалась в главе о выборочном наблюдении, в данном параграфе будут изложены лишь его особенности, необходимые для сравнительного анализа ва­риационных рядов.

Нормальное распределение выражается сложной формулой

где Р — кривая нормального распределения; х — варианты; х — средняя арифмети­ческая вариант; о — среднее квадратическое отклонение; е и л — математические постоянные: е = 2,7182 и к = 3,1415.

В конечном итоге кривая нормального распределения зави­сит только от двух параметров: средней арифметической (х) и среднего квадратического распределения (о). От их значений за­висит расположение центра распределения кривой на оси х и различия вариантов около этого центра (рис. 1 и 2), а также определенные асимметрии левой и правой ветвей относитель­но центра (рис. 3 и 4).

Рис.2

х > Mo

х < Mo

В нормальном распределении левая и правая ветви кривой симметричны, а средняя арифметическая, мода и медиана рав­ны. Однако при соблюдении этого равенства кривые могут суще­ственно различаться между собой.

Если средняя арифметическая величина (х) небольшая, то кри­вая располагается ближе к оси ординат (У), если — большая, то кривая сдвинута вправо от оси Рх (рис. 1, кривые 1 и 2).

Если среднее квадратическое отклонение (о) большое, то кривая распределения является высоковершинной (рис. 2, кри­вая I), что свидетельствует о скоплении частот в середине, о типичности и надежности средней. Такое положение в статис­тике называют положительным эксцессом.

Если среднее квадратическое отклонение небольшое, то кри­вая распределения является низковершинной (рис. 2, кривая 2), что свидетельствует о значительной разбросанности частот ряда и недостаточной надежности средней. В статистике указанные осо­бенности называют отрицательным эксцессом.

Нормальное распределение симметрично по отношению к средней арифметической величине (х). Однако симметричных реальных распределений намного меньше, чем асимметричных. В асимметричном распределении средняя арифметическая, мода и медиана не совпадают, и их отклонения друг от друга изме­ряются с помощью коэффициента асимметрии (КА), который рассчитывается по следующей формуле:

где КА — коэффициент асимметрии; х — средняя арифметическая; Мо — мода; а — среднее квадратическое отклонение.

Суть перечисленных параметров нам известна. Из их соотно­шения в формуле следует:

если средняя арифметическая больше моды (Г > Мо), то коэффициент асимметрии положительный, и это означает пра­востороннюю асимметрию, т. е. правая часть кривой оказывается длиннее левой (рис. 3);

если средняя арифметическая меньше моды (Г < Мо), то ко­эффициент асимметрии будет со знаком минус (отрицательный), что означает левостороннюю асимметрию, т. е. левая часть кри­вой длиннее правой (рис. 4).

Вспомним наш пример (см. табл. 10), в котором наибольшая частота совершаемых преступлений падает на интервал 26—30 лет, а не на средний интервал (31-35 лет). Из этого можно предпо­ложить, что мы имеем дело с отрицательным коэффициентом асимметрии.

Модальный интервал в примере равен 26-30 годам, которо­му соответствует 26%-ная частота совершения преступлений. Модальная величина (Мо) в модальном интервале рассчитыва­ется по известной нам формуле Мо =*,,+»-/Мо ~ /1

где Ха = 26 лет (минимальная граница модального интервала); i = 5 лет (величина модального интервала); /Мо = 26 (частота модального интервала);/, = 22 года (час­тота интервала, предшествующая модальному);^ = 19 (частота интервала его сле­дующего за модальным).

При приведенных данных имеем:

Величина *арифм = 28,97 года (порядок расчета средней ариф­метической интервального ряда изложен в § 3 настоящей главы). Напомним лишь основные действия расчета: вначале определя­ется середина каждого интервала путем сложения двух его гра­ниц и деления полученной суммы на два (например, (26+30): 2=28); затем середину каждого интервала умножаем на его частоту (28 • 26 преступлений = 728); после этого получен­ные произведения складываем (общая сумма произведений се­редины интервалов на частоту равна 2897); разделив эту сумму (2897) на общую сумму частот (100), мы получим среднюю арифметическую, равную 28,97 года.

Это означает, что средняя арифметическая больше моды С* > Мо или 28,97 > 27,5), т. е. мы имеем дело с правосторонней асимметрией и положительным коэффициентом асимметрии. Для расчета КА необходимо знать среднее квадратическое отклоне­ние. Найдем его из табл. 11.

Таким образом,

 

Таблица 11

Расчет среднего арифметического отклонения

Возраст лиц (х), лет	Доли пре­ступлений (/)	Середина интервала (*ср.)	Произве­дения (Л*р.)	Отклоне­ния (*ср.-*)	Дисперсия (*ср. - *)
до 15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-60	3 11 22 26 19 10 5 3 1	14,5 18 23 28 33 38 43 48 55,5	43,5 198 506 728 627 380 215 144 55,5	-14,47 -10,97 -5,97 -0,97 +4,03 +9,03 + 14,03 +19,03 +26,53	209,4 120,3 35,6 0,9 16,2 81,5 196,8 362,1 703,8
	1/ = юо		I/V"	1(хср.-х) = 1726,6

Если изобразить полученные результаты графически, то при имеющихся данных х = 28,97 и Мо = 27,5, откуда 1с > Mo, ах — — Мо = 1,47, мы получим график с правосторонней асимметрией и положительным коэффициентом КА = 0,1. Он будет близок к графику, изображенному на рис. 3.

Мы провели полный расчет коэффициента асимметрии с ее графическим изображением для иллюстрации аномальных воз­можностей вариационных рядов, по многочисленным показате­лям которых можно проводить углубленный статистический срав­нительный анализ.

При моделировании рядов распределения в целях сравнения реального вариационного ряда с нормальным распределением можно проверить их соответствие на основе выравнивания фак­тического распределения по кривой нормального распределения. Для этого частоты фактического распределения сравниваются с теоретическими частотами, которые вычисляются на основе име­ющихся фактических данных, находят нормированные отклоне­ния, а затем по их величине рассчитывают частоты теоретичес­кого нормального отклонения.

Математической статистикой также разработано несколько показателей, по которым можно судить о том, как согласуется фактическое распределение. Эти показатели называются крите­рием согласия. Их много. Наибольшее распространение имеет критерий согласия Пирсона (критерий % - хи-квадрат), который рассчитывается по формуле

 

Для оценки близости эмпирического распределения к теоре­тическим определяют вероятность достижения хи-квадратом ве­личины P(-i) при случайных колебаниях. Если вероятность выше"* 0,05, то отклонения фактических частот от теоретических можно считать случайными, а если меньше, то эмпирическое распреде­ление является принципиально отличным от рассчитанного тео­ретического. Для простоты расчетов статистиками разработаны спе­циальные таблицы вероятностей Дх)> которые обычно приводятся в виде приложений к учебникам по общей теории статистики.

Следующий критерий согласия — критерий Колмогорова (кри­терий лямбда), который обозначается символом А. (лямбда). Этот критерий используется при анализе близости фактического и те­оретического распределений путем сравнения кумулятивных (на­копительных, фактических и теоретических) частот в вариаци­онном ряду. Он рассчитывается по формуле

 

где Р — разность между фактической и теоретической частотой; п — число наблюдений.

По полученным результатам также в специальной таблице можно найти искомую вероятность для критерия согласия лямбда.

Вышеизложенные вопросы выравнивания фактического рас­пределения по кривой нормального распределения, а также кри­терии согласия Пирсона и Колмогорова в силу недостаточной математической подготовки юристов практически не использу­ются в юридической статистике. Исходя из реальных потребнос­тей юридической науки и практики, небольшого объема курса юридической статистики, названные методы представлены в учеб­нике в кратком изложения лишь для ознакомления будущих юри­стов. Эти методы широко распространены среди экономистов, социологов и других специалистов, к результатам исследований которых нередко обращаются и юристы. Объем изложения упо­мянутых методов в учебнике дает возможность более или менее адекватно оценить их при чтении специальной литературы, а по необходимости — и использовать в своей аналитической ра­боте. При этом очень важно не скатиться к статистическому ме­ханицизму, примеры которого до сих пор не изжиты. Обра­тимся к одному из них.

Закономерности распределения в вариационном ряду косвенно используются в модульной теории социума. В ней социум иссле­дуется в виде взаимосогласованной гармоничной системы, со­стоящей из элементов и частей, между которыми существуют сла­женные отношения, выражающиеся в устойчивых пропорциях (распределениях), которые могут измеряться в удельных весах или долях. В связи с этим было высказано предположение о наличии в социуме самых разных положительных и отрицательных девиа­ций (текучесть кадров, неявка на работу, травматизм, гомосек­суализм и лесбиянство, алкоголизм, уклонение от участия в вы­борах, богачи, таланты, мигранты и т. д.), доля которых якобы не превышает 4-10%.

Закономерности распределения тех или иных явлений в об­ществе действительно существуют, но их доли, хотя и в некото­рых пределах, относительно подвижны и зависимы от складыва­ющихся социальных условий. Вспомним, например, распределе­ние женщин и мужчин в структуре выявленных преступников, в котором доля женщин всегда была меньше удельного веса муж­чин и в зависимости от условий (экономическая стабильность, война, кризис и т.д.) составляла 12—20—30%. Можно было бы привести множество других более или менее устойчивых распре­делений. Но никакой «константы необходимой дисгармонии в обществе» или криминальной сфере не наблюдалось. Тем не ме­нее, одним из поклонников этой теории было выдвинуто ничем не аргументированное предположение о якобы устойчивом, по­всеместном и необходимом удельном весе преступников в струк­туре населения (независимо от исторических традиций, соци­альных условий жизни, уровня криминализации общественно опасных действий в уголовном законодательстве и других обсто­ятельств в той или иной стране), равном 5,6% от общей числен­ности населения (в течение года).

Исходя из этих недостоверных выводов, автор, широко ис­пользуя статистические и математические методы относительных и средних величин, «с легкостью» рассчитал латентную преступ­ность по более чем 90 странам. Подход прост: на основе числен­ности населения в той или иной стране он исчислял общее чис­ло ежегодно наличествующих (5,6 %) преступников и путем вы­читания из этого числа количества выявленных правонарушите­лей получал латентную преступность. Обратимся к его непосред­ственным расчетам. В 1985 г. в Швеции насчитывалось 8,35 млн человек населения, среди которых автор нашел 467 600 выявлен- ' ных и невыявленных преступников. Вычтя из этой суммы общее число установленных преступников, он получил 122 803 челове­ка «незарегистрированных преступников» (термин автора этой теории).

В действительности в 1985 г. в Швеции было только зарегист­рировано 1 018 349 преступлений, или 12 184 деяния на 100 тыс. населения, что составляет 12,2% его общей численности. Для их совершения 5,6% («необходимый» удельный вес преступников в обществе) правонарушителей должны были в течение года со­вершить более чем по 2 зарегистрированных деяния каждый. Но кроме учтенной преступности, в Швеции существует латентная, уровень которой примерно соотносится с уровнем зарегистриро­ванных деяний. Аналогичные данные можно получить по США (если учитывать всю преступность, а не только индексную), Ве­ликобритании, Германии, Дании, Финляндии и другим стра­нам, где число преступлений на 100 тыс. населения в последние годы превышает 8 тыс. (или 8%).

Я привожу этот беспрецедентный пример статистических уп­ражнений с одной целью: статистика и математика и выявляемые с их помощью законы динамики и распределения применимы в социальных и юридических науках лишь тогда, когда они опира­ются на адекватные базовые показатели. Если последние неверны, никакие статистические измерения и расчеты, какими бы точны­ми они ни были, не приведут к объективным результатам. Немец­кий математик К.Гаусс обоснованно предостерегал: математика -это мельница. Она перемелет все, что угодно, но получится ли мука, будет зависеть от того, что в нее было засыпано.

Закономерности статистических распределений вполне мо­гут быть использованы в модульной теории социума, в том числе и для изучения распределения криминальных и иных противо­правных отклонений, но эти закономерности должны отражать реалии, а не предположения.

Структурная схема средних величин

Средние величины

Степенные

Конкретные

Средняя арифметическая		Мода
Средняя геометрическая		Медиана
Средняя гармоническая
Средняя квадратическая
		Размах вариации
		Среднее линейное отклонение
		Дисперсия
		Коэффициент вариации

 

Глава 10. РЯДЫ ДИНАМИКИ