Задача 1. Расчет динамических характеристик линейных САУ

 

Определить весовую функцию g (t) и переходную функцию h (t) линейной САУ, состоящей из последовательного соединения апериодического и идеального интегрирующего звеньев, по заданным в табл. 1 параметрам ее передаточной функции в соответствии с последними двумя цифрами учебного шифра:

 

, где р – оператор Лапласа.

 

Составить таблицу расчетных значений искомых временных характеристик и построить их графики для временного интервала: t = 0 – 5 T с шагом дискретизации, равным 0,5 Т. Масштаб по оси ординат студентом выбирается самостоятельно, исходя из того, что высота графика должна быть не менее 8-10 см.

 

Таблица 1

 

Номер варианта
последняя цифра шифра	К
предпоследняя цифра шифра	Т	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9

 

Пример. В качестве примера рассмотрим САУ, передаточная функция которой имеет следующий вид:

 

.

 

Известно, что изображение весовой функции L [ g (t)] любой линейной САУ есть ничто иное, как ее передаточная функция:

 

L [ g (t)] = .

 

Для отыскания оригинала весовой функции g (t) = L ^-1[ W (p)] разложим W (p) на элементарные дроби, соответствующие передаточным функциям отдельных звеньев системы САУ, и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для определения неизвестных статических коэффициентов усиления этих звеньев (коэффициенты А и В в знаменателе элементарных дробей):

. (1)

 

После приведения правой части выражения (1) к общему знаменателю можно приравнять числители левой и правой частей полученного уравнения:

10 = А ∙(0,1∙ р + 1) + В ∙ р = р ∙(0,1∙ А + В) + А (2)

 

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (2) при одинаковых степенях р, получим систему двух уравнений из двух неизвестных:

 

10 = А;

0 = 0,1∙ А + В, откуда

А = 10; В = - 0,1∙ А = - 1.

 

Подставляя вычисленные значения коэффициентов А и В в уравнение (1), получим:

 

. (3)

 

Переход от изображений элементарных функций f (p) в операторной форме записи к их оригиналам, как функций времени f (t), осуществляется, как правило, с использованием стандартных таблиц изображений, приводимых в справочной литературе. Так, например:

оригинал L ^-1[1 /р ] функции 1 /р равен: L ^-1[1 /р ] = 1.

оригинал L ^-1[1 / (р + 10)] функции 1 / (р + 10) равен: L ^-1[1 / (р + 10)] = е ^{-10∙ t}.

Заменив в правой части уравнения (3) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для весовой функции:

 

g (t) = 10∙(1 - е ^{-10∙ t}) (4)

 

Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график g (t).

По известной весовой функции g (t) можно найти переходную функцию h (t), принимая во внимание, что h (t) = .

Изображение L [ h (t)] функции h (t) можно получить путем умножения передаточной функции W (p) исходной САУ на передаточную функцию 1/ р идеального интегрирующего звена, что соответствует включению последовательно с САУ интегрирующего звена.

 

L [ h (t)] = W (p)∙1/ р = . 5)

 

Разложим правую часть уравнения (5) на элементарные дроби с тем, чтобы получить более простые изображения функций для нахождения их оригиналов.

 

= . (6)

 

После приведения правой части выражения (6) к общему знаменателю приравняем числители левой и правой частей полученного уравнения:

 

10 = А ∙ р ∙(0,1∙ р +1) + В ∙(0,1∙ р + 1) + С ∙ р ². (7)

 

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (7) при одинаковых степенях р, получим систему трех уравнений из трех неизвестных:

 

10 = В;

0 = 0,1∙ В + А;

0 = 0,1∙ А + С, откуда

В = 10; А = - 0,1∙ В = - 1; С = - 0,1∙ А = 0,1.

 

Подставляя вычисленные значения коэффициентов А, В и С в уравнение (6), получим:

 

. (8)

 

Воспользовавшись известными таблицами изображений, найдем оригиналы простейших функций:

L ^-1[1 /р ] = 1;

L ^-1[1 /р ²] = t;

L ^-1[1 / (р + 10)] = е ^{-10∙ t}.

 

Заменив в правой части уравнения (8) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для переходной функции:

 

h (t) = 10∙[ t – 0,1∙(1 - е ^{-10∙ t})] (9)

 

Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график h (t).

Этот результат можно получить путем непосредственного интегрирования весовой функции g (t):

h (t) =