Тема 7. Точность систем САУ

 

Требования к процессу управления. Системы САУ выполняют задачу стабилизации или управления. В первом случае система поддерживает регулируемую величину на заданном уровне, а во втором – с заданной точностью изменяет регулируемую величину по определенному закону.

Режим работы системы, при котором отклонение регулируемой величины от заданного значения не превышает допустимого, называется установившимся режимом. В общем случае, за установившийся режим принимается такой режим, при котором ошибка системы (разность между заданным и фактическим значением регулируемой величины) постоянна во времени. Установившийся режим часто называют невозмущенным движением системы.

Если на систему действуют возмущающие внешние воздействия, то в системе возникает возмущенное движение, которое называют переходным процессом.

Процесс управления во времени определяется решением уравнения динамики системы:

y(t) = y_в(t) + y_св(t), (1)

 

где y_в(t) – вынужденная составляющая, y_св(t) – свободная (переходная) составляющая.

За невозмущенное движение принимается вынужденная составляющая y_в(t), представляющая собой установившуюся часть процесса управления. На нее накладывается переходной процесс y_св(t), который теоретически длится бесконечно долго, но его влияние практически становится существенно малым через определенное конечное время. Послезатуханияпереходнойсоставляющейустанавливаетсяy_в(t).

По графику установившегося процесса определяется точность САУ. При этом установившаяся ошибка системы равна:

 

ε_ус(t) = y_в(t) – x(t), (2)

 

а полное значение ошибки: ε (t) = y(t) – x(t). (3)

 

С целью обеспечения нормального протекания процесса управления к системе САУ предъявляются требования по точности, устойчивости и качеству переходного процесса.

Точность системы задается и определяется в установившихся режимах. Устойчивость гарантирует затухание переходного процесса, после чего обеспечивается желаемое качество затухающего переходного процесса.

Точность при типовых воздействиях. Значение установившейся ошибки можно найти по теореме операционного исчисления о конечном значении функции. Суть теоремы звучит так: если известно изображение F(p) функции f(t), то конечное значение оригинала f(t → ∞) можно вычислить по формуле:

 

f(t → ∞) = lim[p∙F(p)] при р → 0.

 

Применяя эту формулу для решения поставленной задачи, получим:

 

ε_ус = lim[р∙W_ε(p)∙x(p)] при р → 0, (4)

 

где W_ε(p) – передаточная функция, представляющая собой отношение установившейся ошибки ε_ус к входной величине х.

В общем случае задающее воздействие является сложной функцией времени, при которой вычисление ошибки значительно усложняется. Поэтому реальные управляющие воздействия заменяют типовыми, в качестве которых применяют известную вам ступенчатую функцию m∙1(t), линейную функцию а∙t или квадратичную функцию at²/2.

Эти воздействия называются детерминированными или регулярными, поскольку их значения можно вычислить для любого момента времени.

Передаточная функция ошибки замкнутой системы определяется в соответствии с выражением:

W_ε(p) = 1/[1 + W(p)], (5)

 

где W(р) – передаточная функция разомкнутой системы.

Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим:

 

ε_ус = lim{р∙x(p)/[1 + W(p)]} при р → 0. (4)

 

Если W(0) = К, т.е. структурная схема разомкнутой системы не содержит интегрирующих звеньев, то САУ называется статической, где К – статический коэффициент усиления разомкнутой системы.

Астатическими системами первого и второго порядка называют такие, у которых передаточные функции соответственно равны W(p) = К·W*(p)/р и W(p) = К·W*(p)/р², т.е. структурные схемы систем содержат одно или два интегрирующих звена. При этом W*(p) – передаточная функция без учета интегрирующих звеньев и их коэффициентов усиления.

При вычислении ошибок необходимо иметь в виду, что изображение по Лапласу типовых воздействий для х = х_о, х = а∙t и х = at²/2 равно соответственно:

х(р) = х_о/р; х(р) = а/р²; х(р) = а/р³. (5)

 

Рассмотрим ошибки некоторых САУ при типовых воздействиях.

Подставив в выражение (4) значение х(р) для ступенчатого воздействия найдем установившуюся ошибку статической системы САУ при р = 0:

 

ε_ус = р∙x(p)/[1 + W(p)] = p∙ х_о/{р∙[1 + W(p)]} =

 

= х_о/[1 + W(p)] = х_о/[1 + W(0)] = х_о/(1 + K). (6)

 

Эта ошибка называется статической ошибкой. Она пропорциональна задающему воздействию и уменьшается с увеличением коэффициента К разомкнутой системы. При изменяющихся во времени воздействиях типа х(t) = а∙t или х = at²/2 ошибка непрерывно возрастает и при р → 0 ε_ус → ∞.

 

ε_ус = а/[p∙(1 + K)]; ε_ус = а/[p²∙(1 + K)]. (7)

 

Наличие статической ошибки является характерным свойством статических САУ.

Астатические системы первого порядка точно отрабатывают ступенчатое воздействие.

 

ε_ус = р∙x(p)/[1 + W(p)] = p∙ х_о/{р∙[1 + К·W*(p)/p]} =

 

= х_о∙p/[p + К·W*(p)] = 0/[0 + W(0)] = 0/K = 0. (8)

 

В то же время при отработке линейно возрастающего сигнала эти системы имеют постоянную ошибку ε_ус = а/K:

 

ε_ус = р∙x(p)/[1 + W(p)] = p∙ а/{р²∙[1 + К·W*(p)/p]} =

 

= а/[p + К·W*(p)] = а/[0 + W(0)] = а/K. (9)

 

Эта ошибка пропорциональна скорости изменения входного сигнала «а», поэтому ее называют скоростной ошибкой, а коэффициент усиления разомкнутой системы К – добротностью системы по скорости.

При отработке квадратичного сигнала отклонение ε_ус → ∞.

 

ε_ус = р∙x(p)/[1 + W(p)] = p∙ а/{р³∙[1 + К·W*(p)/p]} =

 

= а/{р∙[p + К·W*(p)]}. (10)

 

Астатические системы второго порядка точно отрабатывают ступенчатый и линейно возрастающие сигналы. При отработке квадратичного сигнала имеет место ошибка ε_ус = а/K, которая пропорциональна ускорению «а» входного сигнала и обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой системы К, который называется добротностью системы по ускорению, а сама ошибка - ошибка системы по ускорению.

С увеличением коэффициента усиления К разомкнутой системы установившиеся ошибки уменьшаются. Однако с возрастанием К ухудшается устойчивость автоматических систем, т.е. требование к точности противоречит требованию к устойчивости. При заданном относительно большом значении К улучшение устойчивости достигается включением в систему корректирующих устройств.

Порядок астатизма системы также влияет на точность системы. Чем выше астатизм, тем точнее система отрабатывает более сложные воздействия. Однако с увеличением порядка астатизма системы ее устойчивость ухудшается. Поэтому системы САУ с порядком астатизма более двух встречаются редко.