Начисление процентов на всю первоначальную сумму кредита

Сумма долга определяется по формуле наращения по простым процентам: . Долг погашается равными платежами в течение всего срока кредита. Сумма одного погасительного платежа равна

(77)

где m - количество погасительных платежей в течение года.

Сумма погасительного платежа включает часть, идущую на погашение основного долга и часть, идущую на погашение процентов. Наиболее распространен случай, когда часть погасительного платежа, идущая на погашение процентов, в течение срока кредита снижается. То есть, сумма уплачиваемых процентов в составе первого погасительного платежа наибольшая, затем, от одного погасительного платежа к другому, она снижается, и в последнем погасительном платеже она наименьшая. Схема с убывающей величиной процентного платежа выгодна кредитору, так как при досрочном погашении кредита заемщик заплатит большую сумму процентов, чем, если бы проценты погашались равномерно или увеличивались.

Долю каждого погасительного платежа, идущую на погашение процентов и на погашение основного долга можно определить, используя "правило 78".

Правило 78 применяется в такой последовательности.

Шаг 1. Находится сумма порядковых номеров всех платежей по формуле

(78)

где k_посл - последний порядковый номер.

Например, срок потребительского кредита равен одному году, погасительные платежи осуществляются ежемесячно. Тогда сумма порядковых номеров погасительных платежей составит 78: (1+2+3+…+12) = (12+1)´12/2 = 78.

Шаг 2. Определяется часть общей суммы процентов, приходящаяся на каждый погасительный платеж. Часть первого погасительного платежа, идущая на уплату процентов, определяется по формуле

, (79)

где I - общая сумма процентов;

k - порядковый номер последнего платежа.

Часть первого погасительного платежа, идущая на погашение основного долга, равна

(80)

Часть второго погасительного платежа, идущая на уплату процентов определяется по формуле

(81)

Для третьего погасительного платежа

(82)

И так далее, до части, равной общей суммы процентов включительно.

Сумма всех этих дробей равна единице. Так, если сумма порядковых номеров погасительных платежей равна 78, то часть первого погасительного платежа, идущая на погашение процентов, будет равна от общей суммы процентов (то есть ). На погашение основного долга пойдет оставшаяся часть погасительного платежа (то есть ).

Второй погасительный платеж пойдет на погашение 11/78 общей суммы процентов и т.д. Последний погасительный платеж пойдет на погашение 1/78 общей суммы процентов.

При распределении общей суммы процентов между погасительными платежами можно использовать любую последовательность дробей (в том числе и возрастающую), лишь бы их сумма была равна единице.

Пример. Товар ценой 10 тыс. руб. продается в кредит, оплата осуществляется в рассрочку. Срок кредита - три месяца с ежемесячными погасительными платежами. Процентная ставка 20% годовых. Начисляются простые проценты на всю первоначальную сумму долга. Часть погасительного платежа, идущая на погашение процентов в течение срока кредита снижается.

Определить: 1) сумму долга с процентами; 2) сумму одного погасительного платежа; 3) часть каждого погасительного платежа, идущую на погашение основного долга и на уплату процентов.

Решение:

1) по формуле наращения простыми процентами определяется сумма долга с процентами: S=10+10´0,2´3/12=10,5 (тыс. руб.);

2) по формуле (77) рассчитывается сумма одного погасительного платежа: q=10,5/3=3,5 (тыс. руб.);

3) рассчитываются части погасительных платежей за каждый месяц, идущие на погашение процентов и основного долга.

Общая сумма процентов равна 10,5-10=0,5 (тыс. руб.).

Число погасительных платежей равно трем. Сумма порядковых номеров погасительных платежей равна 1+2+3=6.

По формуле (79) рассчитывается часть первого погасительного платежа, которая идет на уплату процентов: I₁ =0,5´3/6=0,25 (тыс. руб.).

По формуле (80) рассчитывается часть первого погасительного платежа, которая идет на погашение основного долга: d₁ =3,5-0,25=3,25 (тыс. руб.).

Аналогичные расчеты производятся за второй и третий месяц по формулам (81) и (82):

I₂ =0,5´2/6=0,17 (тыс. руб.),

d₂ =3,5-0,17=3,33 (тыс. руб.);

I₃ =0,5´1/6=0,08 (тыс. руб.),

D₃ =3,5-0,08=3,42 (тыс. руб.).

Проверка: сумма долга без учета процентов равна d₁ + d₂ + d₃ =3,25+3,33+3,42=10 (тыс. руб.). Общая сумма процентов равна I₁ + I₂ + I₃ =0,25+0,17+0,08=0,5 (тыс. руб.).

6.2. Начисление процентов на непогашенную часть кредита

Процентные платежи рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Основной долг погашается равными суммами. За счет уменьшения процентов сумма погасительных платежей от периода к периоду снижается.

Рассмотрим пример (в общем виде). Пусть срок потребительского кредита равен n лет. Погасительные платежи вносятся каждые l месяцев.

Количество погасительных платежей в году равно раз.

Всего погасительных платежей за срок кредита . Тогда за период l месяцев начисляются проценты в размере

(83)

За следующие l месяцев начисляются проценты на остаток долга

(84)

Процентные платежи за следующие l месяцев

(85)

Последний раз проценты начисляются в размере

(86)

Проценты, приходящиеся на k -й погасительный платеж

(87)

Общая величина процентных платежей равна сумме этих платежей

(88)

В скобках формулы (88) получена арифметическая прогрессия. Сумма членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле

,

где a₁ и a_n - первый и последний члены арифметической прогрессии;

n - количество членов арифметической прогрессии.

В данном случае первый член арифметической прогрессии равен 1. Последний член арифметической прогрессии равен .

Количество членов арифметической прогрессии равно m.

По формуле суммы членов арифметической прогрессии получим

(89)

Формула общей суммы процентных платежей (88) примет вид

(90)

Пример. Условия предыдущего примера, но проценты начисляются на непогашенную сумму долга.

Решение:

1) определяется сумма процентов по формуле (90):

I =10´0,2´1´ (3+1)/24=0,33 (тыс. руб.);

2) по формулам (83), (84) и (85) определяются суммы процентов, выплачиваемых в суммах погасительных платежей за каждый месяц:

I₁ =10´0,2´1/12=0,17 (тыс. руб.);

I₂ =(1-1/3)´10´0,2´1/12=0,11 (тыс. руб.);

I₃ =(1-2/3)´10´0,2´1/12=0,05 (тыс. руб.);

3) часть каждого погасительного платежа, идущая на погашение основного долга, равна:

d₁ = d₂= d₃ =10/3=3,33 (тыс. руб.);

4) суммы первого, второго и третьего погасительных платежей равны:

q₁ =3,33+0,17=3,5 (тыс. руб.);

q₂ =3,33+0,11=3,44 (тыс. руб.);

q₃ =3,33+0,05=3,38 (тыс. руб.).

Проверка: сумма всех погасительных платежей должна быть равна сумме долга вместе с процентами 3,5+3,44+3,38=10,32 (тыс. руб.).

Замена и консолидация платежей. При замене и консолидации платежей руководствуются принципом финансовой эквивалентности, который означает, что в результате любых изменений ни один из участников сделки не должен терпеть убыток.

При замене платежей принцип финансовой эквивалентности реализуется через взаимосвязь суммы и срока нового платежа. С увеличением срока платежа увеличивается и его сумма, поскольку на нее начисляются проценты. В свою очередь, если задана сумма платежа, то можно вычислить его срок. Расчет суммы и срока нового платежа осуществляется, исходя из формулы наращения по процентной или учетной ставке.

При консолидации платежей принцип финансовой эквивалентности реализуется через составление уравнения эквивалентности, согласно которому приведенная стоимость консолидированного платежа равна сумме приведенных стоимостей запланированных ранее платежей. Исходя из данного уравнения, определяются сумма и срок консолидированного платежа.