Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Кафедра

Экономической теории и мировой экономики

 

 

И.В. Данилова, С.А. Никифоров, М.В. Никифорова

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Челябинск 2008

 

ВВЕДЕНИЕ

Профессиональное занятие бизнесом требует умения оценивать все возможные варианты финансовых последствий при совершении любой сделки. Многие решения финансового характера, принимаемые на интуитивной основе, могут оказаться ошибочными. Владея знаниями и приемами формализованных оценок финансовых последствий, в большинстве случаев можно избежать дорогостоящих ошибок.

Курс «Финансовая математика» предполагает освоение техники процентуальных расчетов для решения следующих задач: измерения конечных результатов финансовых операций (сделки, контракты) для каждой из участвующих сторон; разработки планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности; измерения зависимости конечных результатов операции от ее основных параметров; расчета параметров эквивалентного (безубыточного) изменения условий операции.

 

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ финансовой математики

 

Предмет и задачи курса. Время как фактор в финансовых расчетах. Базовая терминология и сущность процентных расчетов: первоначальная сумма, наращенная сумма, процентные деньги, процентные ставки, период и интервал начисления процентов.

Основные процедуры финансовых вычислений: наращение (рост) и дисконтирование, множители (коэффициенты) наращения и дисконтирования. Способы начисления процентов: декурсивный и антисипативный (учетный) процент. Виды ставок: простая и сложная.

 

Тема 2. Простые проценты

 

Базовая формула декурсивных простых процентов и ее модификация. Коэффициенты наращивания и дисконтирования. Определение срока, ставки, первоначальной (современной) суммы в расчетах. Применение ставки простых процентов при вычислениях до года: германский, французский, английский методы. Использование таблиц в краткосрочных расчетах (таблица «Порядковые номера дней в году»). Частные способы использования базовой формулы: изменение суммы, срока, переменные ставки процентов в операциях до года. Вычисления с использованием постоянного делителя (дивизора).

Базовая формула простой учетной ставки. Понятие банковского (коммерческого) учета. Дисконт как разновидность процентных денег. Коэффициенты наращивания и дисконтирования при учетном проценте. Определение срока, ставки и наращенной суммы. Банковское и математическое дисконтирование.

Математическое дисконтирование по простым процентам в условиях неизменной и переменной ставки процента. Реинвестирование по простым ставкам.

Процентные ценные бумаги: совмещение процедуры наращивания и дисконтирования по простым ставкам.

Определение сроков ссуды, величин простых процентных и учетных ставок.

 

Теоретические положения темы

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн.руб., полученный через год. не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы, в свою очередь, могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Очевидным следствием принципа «неравноценности» является неправомерность суммирoвaния денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь тогда, когда фактор времени неимеет значения, например в бухучете (для получения итогов по периодам) и в финансовом контроле.

В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учетосуществляется с помощью начисления процентов.

2.1. Проценты и процентные ставки. Под процентными деньгами или процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода отпредоставления денег в долг в любой форме (предоставление денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.).

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или обыкновенной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Наиболее ответственный момент связан с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором — сложными процентными ставками.

Процентные ставки могут быть постоянными (фиксированными) или переменными (плавающими). Впервом случае размер фиксированной ставки однозначно указывается в контракте. Во втором — указывается изменяющаяся во времени базовая ставка (база) и размер надбавки к ней (маржи). Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR — London Interbank Oftered Rate) или московская межбанковская ставка МИБОР (MIBOR). Размер маржи определяется целым рядом условий, вчастности сроком ссудной операции и т.д. Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5—5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.

Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита пли депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем.

2.2. Формула наращения по простым процентам. Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма, вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Пусть Р — первоначальная сумма денег, i — ставка простых процентов (ниже она выражена в десятичных долях первоначальной суммы). Начисленные проценты за один период равны Pi, a за ппериодов — Pni.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины

Р, P + Pi = Р (1 + i), Р (1 + i) + Pi = Р (1 + i) и т.д. до Р (1 + ni).

Первый член этой прогрессии равен Р, разность Pi, а последний член, определяемый как

S=P(1+ni)(1)

является наращенной суммой, т.е. суммой, наращенной к концу n-го промежутка начисления.

Формула (1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Множитель (1 + ni)является множителем наращения. Он показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы Рсуммы процентов I (процентных денег)

(2)

S=P + I,

где

I = Pni. (3)

Pni

Процесс роста суммы долга по простым процентам можно представить графически (рис. 1). При начислении простых процентов по ставке I за базу берется первоначальная сумма долга – точка Рна оси OS.

Рис. 1. Наращение по простой процентной ставке

Полагая, что формула (1), выведенная для целых п, справедлива для любых нецелых промежутков начисления t, получаем линейный рост наращенной суммы S со временем.

Задача 1. Рассчитайте проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых.

Решение. По формулам (2) и (3) находим

I = 100 000 х 1,5 х 0,15 = 22 500 руб. — проценты за 1,5 года;

S = 100 000 + 22 500 = 122 500 руб. — наращенная сумма.

2.3. Практика начисления простых процентов. Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

(4)

где п — срок ссуды (измеренный в долях года); К— число дней в году (временная база); t — срок операции (ссуды) в днях.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы и способом измерения срока пользования ссудой.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий, процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.

Расчет числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляется фактическое число дней между двумя датами, во втором продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, при этом продолжительность всех месяцев приближенно полагается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.

Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемых на практике:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/365, британская практика);

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/360, французская практика);

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (схема 360/360, германская практика).

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Задача 2. Ссуда размером 1000000 руб. выдана 21 января 2002г. до3 марта 2002г. при ставке простых процентов, равной 20% годовых. Найти:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды;

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение: Используя формулы (3) и (4), получим:

а) К = 365, t =41, I = 1000000-0,2 (41/365) = 22465,75 руб.;

б) К = 360, t = 41, I = 1000000-0,2 (41/360) = 22777,78 руб.;

в) К = 360, t = 43, I = 1000000-0,2 (43/360) = 23888,89 руб.

2.4. Простые переменные ставки. Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся вовремени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

S = Р (1 + n₁i₁ + n₂i₂ … + n_ki_k) = Р (1 + ∑n_ti_t) (5)

где Р— первоначальная сумма (ссуда); i_t — ставка простых процентов в периоде с номером t, n_t — продолжительность периода с номером t, т.е. периода начисления по ставке i_t.

Задача 3. Вдоговоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий — на 1% меньше, чем в предыдущий. Определить множитель наращения за весь срок договора:

1 + ∑n_ti_t =1 + 0,25·0,10+ 0,25·0,09 +0,25·0,08+ 0,25·0,07= 1,085.

2.5. Дисконтирование и учет по простым ставкам. В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р. Расчет Р по S называется дисконтированием суммы S. Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности называются дисконтом, или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета процентов: путем наращения суммы ссуды и вычислением скидки с конечной суммы долга.

Величина Р эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование. Приведение — это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то — наращение.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче

,

то в обратной

. (6)

Дробь в правой части равенства (6) при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен

D=S-P. (7)

Задача 4. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1000 000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение. Применяя формулы (6) и (7), получим:

= 1000000 / (1 + 0,20-90/360) = 952380,95 руб.;

D=S-P= 1000000-952380,95 = 47619,05 руб.

Банковский, или коммерческий, учет. Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую обозначается символом d.

По определению, простая годовая учетная ставка находится как

(8)

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd, (9)

откуда

. (10)

Множитель (1-nd) называют дисконтным множителем. Срок п измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

Задача 5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 1000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых (год принят равным 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение. Используем формулы (9) и (10):

D = Snd = 1000000 - 0,2 (90/360) = 50 000 руб.;

Р= S-D= 1 000 000-50 000 = 950 000 руб.

 

Задания

1. Вкладчик положил в банк, выплачивающий 7% простых в год, вклад 3,0 тыс.руб. Какая сумма будет на счету вкладчика а) через 3 месяца, б) через 1 год, в) через 3 года 5 месяцев?

2. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 4% простых в год, чтобы получить 50000 руб. а) через 4 месяца, б) через 1 год, в) через 2 года 9 месяцев?

3. В банк, выплачивающий 6% простых годовых, положили 60 тыс.руб. Через сколько лет на счету будет 65,4 тыс.руб.?

4. Фермер собирает деньги на постройку нового коровника и положил в банк 100 тыс.руб. Через 2 года 6 месяцев на счету было 120 тыс.руб. Сколько процентов (простых) выплачивает банк в год?

5. Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год – 60%, в каждом следующем полугода ставка повышается на 10%. Во сколько раз увеличится первоначальная сумма по истечении 2,5 лет?

6. Коммерческим банком выдан кредит в сумме 700 долл. под простые проценты – 8% годовых. Определите величину погасительного платежа, если срок пользования кредитом составляет 4 года 8 месяцев.

7. Клиенту выдана ссуда на срок с 12 сентября 2000г. по 5 марта 2001г. под 9% годовых. Определите размер погасительного платежа, если первоначальная величина ссуды составляет 12 тыс.долл.

8. Определите величину простой процентной ставки, при которой за 2,5 года вклад вырос до 600% от первоначальной суммы.

9. За 1 год и 9 месяцев вклад вырос в 13,5 раз. Определите величину процентной ставки.

10. За 2 года и 4 мес. Доход составил 188% от первоначального вклада. Определите величину процентной ставки.

11. Годовая ставка простых процентов равна 12,5%. Через сколько лет первоначальная сумма увеличится в 5 раз?

12. Банк выдал г-ну Фёдорову ссуду в 90 тыс.руб. на 2 года под простой дисконт, равный 12% в год. Какая сумма будет выдана господину Фёдорову на руки?

13. Г-н Фёдоров из предыдущего задания желает получить при тех же условиях на руки 90 тыс.руб. Какую сумму он будет должен банку?

14. Какую сумму будет должен банку г-н Фёдоров из задания 4, если он получит ссуду под 12% годовых (простых)? Что выгоднее г-ну Фёдорову: взять ссуду под простой дисконт или под простые проценты?

15. Компания по производству радиоаппаратуры получила в коммерческом банке ссуду в 90 тыс.руб. на два года под простой дисконт, равный 12% в год. Какую сумму получила компания на руки?

16. Компания по производству радиоаппаратуры получила в коммерческом банке ссуду на два года под простой дисконт, равный 12% в год. Компания желает получить на руки 90 тыс.руб. Какую сумму она будет должна банку?

17. Компания по производству радиоаппаратуры получила в коммерческом банке ссуду на два года под 12% годовых (простых). Компания желает получить на руки 90 тыс.руб. Какую сумму она будет должна банку?

18. Заемщик получил кредит на 6 месяцев под 80% годовых с условием вернуть 3 млн.руб. Определите, какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

19. Г-н Петров имеет вексель на 15 тыс.руб., срок которого 1 июля. Он хочет учесть его 1 марта того же года в банке, простая учётная ставка которого 7%. Какую сумму получит г-н Петров за этот вексель? Какую сумму получит г-н Петров, если срок этого векселя 1 июля следующего года?

20. Какую прибыль получит банк в результате учёта 20 мая трёх векселей по 20 тыс.руб. каждый, если срок оплаты первого векселя 10 сентября, а двух других — 1 октября того же года и учётная ставка этого банка равна 10%?

21. Клиент учёл 1 февраля 1992 года вексель на сумму 40 тыс.руб., срок которого 1 июня того же года, и получил за него 38,79 тыс.руб. Какова учётная ставка банка?

 

Тема 3. Сложные проценты

 

Базовая формула для расчетов по сложным декурсивным процентам. Коэффициенты наращивания и дисконтирования. Определение процентных денег, срока, ставки финансовой операции и современной величины будущей суммы. Частные случаи базовой формулы: расчеты при нецелом значении периода операции; использование финансовых таблиц и определение результатов в условиях нетабличного значения ставки.

Вычисление результатов финансовых операций в условиях начисления процентов несколько раз в году. Номинальная и эффективная ставка процента. Непрерывное начисление процентов, наращивание и дисконтирование. Понятие постоянной силы роста. Расчеты в условиях переменной ставки сложных процентов: наращивание и дисконтирование.

Сложная учетная ставка: базовая формула и ее модификации. Вычисления в условиях начисления процентов несколько раз в году. Эквивалентность антисипативных и декурсивных простых и сложных ставок. Средние (простая и сложная) процентные ставки.

Использование антисипативной ставки в финансовых операциях. Расчет номинальной и дисконтированной величины векселя. Пролонгация, консолидация и изменение схем выплат при работе с векселями.

 

Теоретические положения темы

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

3.1. Формула наращения по сложным процентам. Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года Р(1+i)(1+i)= P(1+i) ², через n лет — Р(1+i) ⁿ. Таким образом, формула наращения для сложных процентов имеет вид:

, (11)

где S — наращенная сумма; i — годовая ставка сложных процентов; п — срок ссуды; — множитель вращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

Задача 6. В кредитном договоре на сумму 1000000 руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Рассчитать наращенную сумму.

Решение. Используя формулу (11), получим:

S = 1000000 (1 + 0,2)⁴ = 2 073 600 руб.

3.2. Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения принимает следующий вид:

_,(12)

где i₁, i₂..., i_k — последовательные значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n₁, n₂,…n_k.

Задача 7. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% — в третий и 5% — в четвертый год. Вычислить величину множителя наращения за четыре года.

Решение. Следуя формуле (12), получим искомый множитель наращения, равный
(1 + 0,3)² (1 + 0,28) (1 + 0,25) = 2,704.

3.3. Номинальная и эффективная ставки процентов. Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. При каждом начислении проценты капитализируются, т.е. добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке проводится по формуле

, (13)

где N — число периодов начисления N= mn, может быть и дробным числом).

Задача 8. Ссуда 20000 тыс. руб. предоставлена на 28 месяцев. Проценты сложные, ставка — 60% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Необходимо вычислить наращенную сумму.

Решение. Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется N = (28/3) кварталов. Число периодов начисления в году т = 4. По формуле (13) находим

S = 20000х(1 + 0,60/4)^(28/3) = 73 712 844,81 тыс.руб.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и w-разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для соответствующих множителей наращения:

, (14)

где i_эф — эффективная ставка; у — номинальная ставка. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

. (15)

Обратная зависимость имеет вид

. (16)

Задача 9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение. По формуле (15) находим

i_эф = (1 + 0,1/4)⁴ - 1 = 0,1038, т.е. 10,38%.

Задача 10. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Решение. По формуле (16) находим

j = 4 ((1 + 0,12)^1/4 – 1) = 0,11495, т.е. 11,495%.

3.4. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов. Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных процентов и решим ее относительно Р:

, (17)

где

(18)

- учетный или дисконтный множитель.

Задача 11. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов — 10% годовых.

Решение. По формуле (17) находим

Р= 1000 000 (1 + 0,10)^-5 = 620 921,32 руб.

Если проценты начисляются т раз в году, то получим

, (19)

где

(20)

— дисконтный множитель.

Так же, как и в случае начисления простых процентов, величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P = S (1 - d_сл)ⁿ, (21)

где d_сл — сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

D = S — P= S — S (1 — d_сл)ⁿ = S (1- (1 d_сл)ⁿ) (22)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Задача 12. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 1000 тыс. руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых. Определить дисконт.

Решение. По формуле (21) находим

Р= 1000 (1 - 0,10)⁵ = 590,490 тыс. руб.;

D=S – P = I000 - 590,49 = 409,51 тыс.руб.

3.5. Наращение и дисконтирование с использованием непрерывного начисления процентов. Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле (13).

Чем больше т, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m → ∞ имеем

m → ∞

m → ∞

S = lim P (1 + j/m)^mn = P lim ((1 + j/m)^m)ⁿ (23)

Используя известный из математического анализа второй замечательный предел, можно записать

m → ∞

m → ∞

lim P (1 + j/m)^m = lim ((1 + j/m)^m/j)^j = e^j

где е — основание натуральных логарифмов.

Подставляя полученное выражение в (23), окончательно получаем наращенную сумму в случае непрерывного начисления процентов по ставке j:

S = P e^jn. (24)

Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом δ. С учетом введенного обозначения равенство (24) принимает вид

S= Ре^δn. (25)

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т→∞.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P = Se^-δn. (26)

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок.

Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения

(1 + i)ⁿ = е^δn (27)

Из записанного равенства следует, что

δ = ln (1 + i) (28)

откуда

i=e^δ - 1. (29)

Задача 13. Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение. Воспользуемся формулой (28)

δ = ln (1 + i) = ln (1 + 0,15) = 0,13976, т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

3.7. Расчет срока ссуды и процентных ставок. В ряде практических задач начальная (Р) и конечная (S) суммы заданы контрактом и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды. А) При наращении по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения S= P(1+i)ⁿ следует, что

n = log(S/P) /log(l+j/m) (30)

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется в числителе и знаменателе.

Б) При наращении по номинальной ставке процентов т раз в году из формулы S=P(1+j/m)^mn получаем

n = log(S/P) / m log(1+j/m) (31)

В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d из формулы P=S(1-d)ⁿ имеем

n = log(P/S) / log(1–d) (32)

Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке т раз в году. Используя равенство P = S(1-f/m)^mn, приходим к соотношению

n = log(P/S) / m log(1–f/m) (33)

Д) При наращении по постоянной силе роста. Исходя из соотношения

S= Ре ^δn,получаем

Ln(S/P) = δn. (34)

Расчет процентных ставок. Используя те же исходные формулы, что и для приведенных расчетов, получим выражения для процентных ставок.

А) При наращении по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения следует, что

(35)

Б) При наращении по номинальной ставке процентов т раз в году из формулы получаем

(36)

В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы имеем

(37)

Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке т раз в году. Из соотношения приходим к формуле

(38)

Д) При наращении по постоянной силе роста. Исходя из S= Ре^δn,получаем

δ = (1/n) х ln(S/P) (39)

Эквивалентность антисипативных и декурсивных простых и сложных ставок. Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий, называют эквивалентными. Равноценность финансовых последствий может быть обеспечена в том случае, если наблюдается равенство множителей наращения или дисконтных множителей. Это принцип используется при расчете всех эквивалентных ставок.

Рассматривая принцип эквивалентности процентных ставок, необходимо обратить внимание на расчет их средних значений, так как для нескольких процентных ставок их среднее значение является эквивалентной величиной.

В случае, если суммы полученных кредитов равны между собой, то средняя процентная ставка (проценты простые) рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, где весами служат временные периоды, в течение которых действовала данная ставка:

, (40)

где - средняя процент ная ставка, - период действия (временной интервал) каждой ставки.

При получении различных по величине кредитов, выданных под различные процентные ставки, средняя ставка также вычисляется по формуле средней арифметической, но весами в этом случае будут являться произведения сумм полученных кредитов на сроки, на которые они выданы:

, (41)

где - средняя процентная ставка, - период действия каждой ставки, - величина выданного кредита.

Расчет простой учетной ставки производится также по средней арифметической взвешенной:

(42)

Средняя ставка по сложным процентам определяется по формуле:

(43)

Средний размер одной ссуды с учетом количества оборотов за год находится по формуле:

, (44)

где - размер j- й ссуды, - срок j- й ссуды в годах, – количество оборотов, - продолжительность периода, - число клиентов, получивших ссуду.

 

Задания

1. Предприниматель положил в банк, начисляющий 6% годовых (сложных), 8000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев?

2. Владелец участка земли сдал его в бессрочную аренду с ежегодной рентой 110 тыс.руб. Ставка процента – 10%. Найдите дисконтированный доход.

3. Владелец квартиры сдает ее на три года и требует по 11 тыс.руб. в конце каждого. Ставка процента – 10%. Доходы хранятся на срочном вкладе. Определите дисконтированный доход и сумму, которая будет у владельца через 3 года. Выгодно ли принять предложение жильцов заплатить сразу 27 тыс.руб.

4. В коммерческом банке ставка по срочным вкладам равна 10% в месяц. Сумма 100 руб. помещена на трехмесячный срочный вклад. Найдите доход вкладчика, если капитализация процентов а) предусмотрена, б) не предусмотрена.

5. На сколько процентов увеличится сумма срочного вклада за 8 лет при ставке процента 20% годовых, если предусмотрена капитализация процентов?

6. Сумма, помещенная на срочный вклад с ежегодной капитализацией процентов, за 4 года увеличилась на 75%. Найдите годовую ставку процента, если она оставалась неизменной.

7. Предприниматель положил в банк, начисляющий проценты по ставке j₃=6%, 8000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев?

8. Владелец мастерской может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆=10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20 тыс.руб. через 3 года 3 месяца?

9. Фермер хочет вложить 30 тыс.руб., чтобы через 5 лет получить 40 тыс.руб. Под какую процентную ставку j₁₂ он должен вложить свои деньги?

10. Через сколько лет 1 руб., вложенный в банк, выплачивающий проценты по ставке j₁=10%, превратится в 1 млн.руб.?

11. Клиент вложил в банк 1000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке а) j₁=5%, б) j₆=5%, в) j₁₂=5%, г) j₃₆₀=5%?

12. Клиент вложил в банк 1000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 8 лет, если банк непрерывно начисляет проценты по годовой ставке, равной 5%?

13. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке 7%, чтобы через 10 лет на счету было 5000 руб.?

14. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в 1990г. - 12%, в 1991г. - 18%, в 1992 и 1993 гг. - 24%. Какая сумма будет на счету 31 декабря 1993 года, если 1 января 1990 года на этот счет было положено 3000 руб.?

15. Г-н Петров имеет вексель на 15 тыс.руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года в банке по сложной учетной ставке, равной 7%. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года?

16. В банк, начисляющий 6% годовых (сложных), клиент положил 80 тыс.руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев?

17. Решить задание 16, если банк начисляет проценты по ставке j₃= 6%.

18. Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j₆ =10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20 тыс.руб. через 3 года 3 месяца?

19. Г-н Петров хочет вложить 30 тыс.руб., чтобы через 5 лет получить 40 тыс.руб. Под какую процентную ставку j₁₂ он должен вложить свои деньги?

20. Клиент вложил в банк 100 тыс.руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке a) j₁ = 5%, б) j₆ = 5%, в) j₁₂ = 5%, г) j₃₆₀ = 5%?

21. Какая сумма будет на счету клиента из предыдущего задания при условии (г) через 8 лет?

22. Какова современная ценность 10 тыс. руб., если а) эта сумма будет получена через 3 года 6 месяцев, б) эта сумма была получена 2 года 9 месяцев тому назад, в) эта сумма получена в настоящий момент времени? Стоимость денег - 8% (то есть на деньги, находящиеся в обороте, начисляются 8% годовых (сложных)).

23. Банк начисляет на вложенные деньги проценты по ставке j₄=6%. Какова современная ценность суммы денег в 25 тыс. руб., которая а) была вложена в этот банк 5 лет 4 месяца тому назад; б) будет вложена в банк через 1 год 8 месяцев?

24. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке j∞ = 7%, чтобы через 10 лет на счету было 50 тыс. руб.?

25. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в 1990г. — 12%, в 1991г. — 18%, в 1992 и 1993 гг. — 24%. Какая сумма будет на счету 31 декабря 1993 года, если 1 января 1990 года на этот счёт было положено 30000 руб.?

26. Г-н Петров имеет вексель на 15 тыс. руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года в банке по сложной учётной ставке, равной 7%. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года?

27. Банк выдаёт ссуду на 10 лет или под 7% годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

28. Какую ставку сложных процентов должен установить банк из предыдущего задания, если он выдаёт ссуду под 7% простых годовых?

29. Фермер должен вернуть банку 2 тыс. руб. 1 января 1994 года. Ссуда дана под 15% годовых (сложных). Какую сумму должен уплатить фермер, если он вернет долг а) 1 июля 1993 года, б) 1 июля 1995 года, в) 1 января 1996 года?

30. Определить ставку сложных процентов i_c, эквивалентную ставке a) j₂ = 10%, б) j₆ = 10%, в) j_l2 = 10%.

31. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку j_m должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если а) т= 2, б) т =6, в) m=12?

32. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 6% и собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?

33. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учётной ставке d_п = 6%. Какую сложную учётную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?

34. Банк учитывает вексель по учётной ставке f₃ = 8% и желает перейти к сложной учётной ставке d_c. Какой величины должна быть ставка dc, чтобы доход банка не изменился?

35. Банк учитывает векселя по сложной учётной ставке d_c = 6%. По какой учётной ставке f_m этот банк должен учитывать векселя, чтобы доход банка не изменился, если а) т = 2, б) m = 4, в) т = 12?

36. Банк выплачивает по вкладам 6% годовых (сложных). Какова реальная доходность вкладов в этот банк, если начисление процентов делается а) по полугодиям, б) поквартально, в) ежемесячно?

37. Банк учитывает векселя по сложной учётной ставке 8%. Какова реальная доходность этой операции?

38. Банк учитывает векселя по сложной учётной ставке f₄=8%. Какова реальная доходность этой операции?

39. Какова современная ценность 10 тыс.руб., если а) эта сумма будет получена через 3 года 6 месяцев, б) эта сумма была получена 2 года 9 месяцев тому назад, в) эта сумма получена в настоящий момент времени? Стоимость денег — 8% (то есть на деньги, находящиеся в обороте, начисляются 8% годовых (сложных)).

40. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄=6%. Какова современная ценность суммы денег в 25 000 руб., которая а) была вложена в этот банк 5 лет 4 месяца тому назад, б) будет вложена в банк через 1 год 8 месяцев?

41. Г-н Сидоров положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке i =5% (сложных), сумму 12 тыс.руб. Через 1 год 6 месяцев он снял со счёта 4,5 тыс.руб., а ещё через 2 года положил на свой счёт 2 тыс. руб. После этого, через 3 года 6 месяцев он закрыл счёт. Какую сумму он получил?

42. Решить предыдущее задание при условии, что банк выплачивает проценты по ставке j₆=5%.