Существует три основных вида операций

Срочным аннуитетом называется денежный поток с равными поступлениями С в течение ограниченного промежутка времени в конце каждого периода. Например, клиент вносит в банк первоначальную сумму, а в обмен получает серию периодических выплат в течение срока действия договора. В конце срока договора ему причитается получить сумму FV. Эту ситуацию можно записать (-PV, С, С,… С, FV) и изобразить графически

Банковский кредит - это аннуитет наоборот. Клиент получает денежную ссуду PV, а потом выплачивает свой долг равными платежами С в течение срока погашения кредита. В конце срока операции ему остается выплатить сумму FV. Эту ситуацию можно записать (PV, -С, -С,…-С, -FV) и изобразить графически

Накопление периодическими взносами (формирование денежных фондов). В начале срока финансовой сделки вносится вклад в размере PV и через равные промежутки времени к нему добавляются суммы С. К концу срока сделки с учетом начисленных процентов накопится сумма FV. Эту ситуацию можно записать (-PV, -С, -С,…-С, FV) и изобразить графически

Анализ потока платежей предполагает решение

а) прямой задачи, когда проводится оценка с позиции будущего, т. е. вычисляется сумма всех платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции;

б) обратной задачи, когда проводится оценка с позиции настоящего, т. е. определяется современная стоимость всех платежей, приведенная на момент начала операции.

БУДУЩАЯ СУММА ПРЕНУМЕРАНДО И ПОСТНУМЕРАНДО БЕЗ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ СУММЫ

Рента пренумерандо

Пусть одинаковые платежи размером С (cost – стоимость) осуществляются пренумерандо в течение n периодов. На них нарастают проценты по номинальной (ежегодной) процентной ставке r. Сначала рассмотрим С по абсолютной величине.

В начале первого периода осуществлен взнос С. К концу периода на него нарастут проценты, и будущая сумма составит

FV₁ = С·(1 + r).

В начале второго периода внесена сумма С, а к концу второго периода на нее и на FV₁опять нарастут проценты

FV₂=С·(1+r)+С·(1+r)².

К концу третьего периода

FV₃= С·(1+r)+С·(1+r)²+С·(1+r)³ и т. д.

К концу n-ого периода будущая сумма составит

FV_n = С· (1+r)+С· (1+r)²+... +С· (1+r)ⁿ= С· (1+r) · .

Нетрудно видеть, что это сумма геометрической прогрессии с общим членом

= ₁·qⁿ^-1, где ₁=С· (1+r), a q=1+r.

Как известно из школьного курса [7], сумма такой геометрической прогрессии

S_n= .

Таким образом, получаем

FV_n= .

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то число периодов сделки n=k·m, а процентная ставка за период составляет r/m. В этом случае

FV= . (2.1)

Рента постнумерандо

Те же условия, что в разделе 2.2.1, но рента вносится в конце каждого периода – постнумерандо.

К концу первого периода сделан взнос С и FV₁=С

К концу второго периода снова сделан взнос С, а на FV₁ наросли проценты:

FV₂=С+С·(1+r).

К концу третьего: FV₃=С+С·(1+r)+С·(1+r)² и т. д.

Будущая сумма к концу n-ого периода

Это геометрическая прогрессия с первым членом ₁=С и частным q=(1+r). Следовательно,

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то n=m·k

. (2.2)

Формулы (2.1) и (2.2) можно объединить в одну.

(2.3)

Здесь тип=0, для взносов постумерандо,

тип=1, для взносов пренумерандо.

Очевидно, что при выплатах пренумерандо абсолютная величина будущей накопленной суммы больше.

Поскольку выплаты С и конечная сумма имеют, как правило, разные знаки (-С; -С;-С; FV) или (С; С;С; -FV), то их сводят в уравнение эквивалентности

(2.4)

Напомним, что в выражениях (2.1) – (2.4) величина m – это число взносов и начислений процентов в году.

При ежемесячных взносах m=12;

при ежеквартальных взносах m=4;

при взносах раз в полгода m=2;

при ежегодных взносах m=1.

Первый случай – взносы постнумерандо (тип=0)

Пример 2.1. Сколько денег можно накопить в банке в течение года, внося ежемесячно по300 руб. во вклад под 18% годовых?

Решение

С=-300 руб.

r=0,18

k=1

m=1,2

FV=?

Второй случай –взносы пренумерандо (тип =1)

Если бы мы копили эти деньги в банке из под кофе, то в конце года имели бы только

FV=300*12=3600 руб.

Таким образом, в обоих случаях за счет процентов банк нам приплачивает в конце года больше трехсот руб. Однако во втором случае (выплаты в начале каждого месяца) мы получим почти на 60 руб. больше.