Выплаты p раз в году, а начисление процентов m раз в году

Определим теперь абсолютное значение наращенной суммы для наиболее общего случая: р - срочная рента с начислением процентов m раз в году.

Пусть С - это постоянная рента, начисляемая р раз в году. Число выплат ренты за k лет равно k·p. Количество начислений процентов в году равно m.

За период m/p года на каждую выплату С нарастают проценты в размере (1+ )^m^/^p.

1) Если выплаты идут пренумерандо, то к концу k·p-ого периода сумма выплат составит

FV=C·(1+r/m)^m/p+ C· (1+r/m)^2m/p+···+ C· (1+r/m)^k·p·m/p=

=C· (1+r/m)^m/p· [1+ (1+r/m)^m/p+···+ (1+r/m)^(kp-1)·m/p].

Это сумма геометрической прогрессии с первым членом

C·(1+r/m)^m^/^p и частным q= (1+r/m)^m^/^p.

Она равна [7]

FV=C· (1+r/m)^m^/^p· .

При p=m эта формула плавно переходит в (2.1).

2) Если выплаты поступают постнумерандо, то к концу k-ого года сумма выплат составит

FV=C+ C(1+r/m)^m/p+···+ C(1+r/m)^{(kp-1)··m/p}

В этом случае

FV=C .

При p=m эта формула переходит в (2.2).

Обе формулы объединим в одну

FV=C ·(1+r/m·тип)^m^/^p. (2.15)

тип=1 для выплат пренумерандо и тип=0 для выплат постнумерандо.

Уравнение эквивалентности приобретает вид

FV+PV(1+r/m)^m^·^k + C ·(1+r/m·тип)^m^/^p =0 (2.16)

Из него можно определить любые из восьми величин FV, PV, c, r, k, m, p через остальные семь.

Пример 2.9

Создается страховой фонд фирмы общей суммой 10 млн. руб. Фонд должен быть создан в течение 5 лет. Взносы в фонд производятся ежемесячно пренумерандо. Проценты начисляются ежеквартально по процентной ставке 18% годовых. Определите размер платежа и сумму, накопленную через 3 года.

Из (2.16) С=

С=

Такую сумму фирме следует начислять ежемесячно в страховой фонд.

Решение.

PV=0

FV=10 млн. руб.

k=5

p=12

m=4

r=0,18

С=? FV(k=3) =?

Через 3 года сумма фонда составит

FV₃=

Динамика наращивания суммы фонда, рассчитанная в Excel, представлена таблицей (2.3) и графиком pис.(2.1)

Таблица (2.3)

Год	Сумма фонда
	1,363722
	2,989987
	4,929337
	7,242049

Рис. 2.1

К сожалению, при p¹m для расчета величин из уравнения (2.16) не применимы финансовые функции Excel. В частности, нельзя рассчитать номинальную процентную ставку r с помощью функции НОРМА. Однако, в Пакете анализа Excel есть средство для решения нелинейного уравнения (2.16).

Пример 2.10

Фирма дала дочерней фирме в кредит 3 млн. руб. с условием возвращения долга в течение 5 лет равномерными платежами по 0,2 млн. руб. ежеквартально постнумерандо при условии начисления процентов раз в полгода. Какова эффективность этой сделки?

Решение (с точки зрения дочерней фирме)

Решим эту задачу с помощью Excel. Здесь изменяемый параметр r. Положим его вначале равным 0,1 (r=10%) - нулевое приближение. Уравнение (2.16) f(r)=0 относительно r будет в данном случае выглядеть так

(2.17) Назовем f(r) функцией цели.

PV=3 млн. руб.

FV=0

k=5

m=2

p=4

С=-0,2 млн. руб.

r=?

Выполнение

1) Вызываем Excel.

2) В ячейку А1 помещаем число 0,1 – это первоначальное значение r.

3) В ячейке А2 набираем функцию цели:

=3*(1+A1/2)^10-0,2*((1+A1/2)^10-1)/(КОРЕНЬ(1+A1/2)-1)

Получаем величину – 0,2066

4) Сервис – Поиск решения

5) В появившемся окне Поиск решения задаем:

5.1 Установить целевую ячейку $A$2 равной ¤ значению 0, изменяя ячейки: А1

5.2 Выполнить.

Результат

В ячейке А1 появляется корень уравнения (2.17) r=0,118, в ячейке А2 – значение функции
f (r)=3,85*10^-7 @ 0 - машинный нуль.

Итак, в результате решения примера выяснилось, что эффективность подобной сделки
r_эфф=11,8%. Если банк может обеспечить больший процент по вкладу, то с точки зрения головной фирмы сделка не выгодна, а с точки зрения дочерней – наоборот.

ВЫБОР ИПОТЕЧНОЙ ССУДЫ

Пример 2.11 [2, 3.5] Строительная фирма предлагает клиентам в новом доме квартиры стоимостью 300 тыс. руб. с разными условиями продажи.

1) Для молодых семей – 15%-ый первый взнос авансом, а остаток стоимости выплачивается по льготному государственному кредиту в течение 20-ти лет по 5% годовых. Платежи осуществляются равными годовыми суммами в конце каждого года.

2) Аванс – 15%. Остальная сумма выплачивается в кредит сроком на 2 года по номинальной процентной ставке 20% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год, а платежи происходят ежемесячно.

3) Аванс – 10%. Предусмотрена отсрочка платежей на один год. Оставшаяся сумма выплачивается в течение трех лет равными месячными платежами с ежемесячным начислением процентов. Номинальная процентная ставка кредита 18%.

Требуется рассчитать периодические выплаты и общую сумму выплат во всех трех случаях.

Условия и финансовые последствия вариантов 1 - 3 приведены в таблице 2.4.

Принятые обозначения:

Р – стоимость квартир;

q% - проценты от стоимости квартиры, отчисляемые в качестве аванса;

r – номинальная процентная ставка;

k – срок кредита;

t – продолжительность отсрочки;

m – число периодов начисления процентов;

p – число периодов начисления платежей;

C– величина годового платежа;

FV – общая наращенная стоимость финансовой ренты;

S - общая сумма выплат по ипотечной ссуде, включая аванс.

FV_к – будущая сумма кредита к концу срока кредита во всех трех случаях равна 0.

Таблица 2.4

№ варианта	P тыс. руб.	q %	k лет	t лет	m	p	r %	C тыс. руб.	PV тыс. руб	FV тыс. руб.	S тыс. руб.
								20,462		676,591	721,591
								155,257		375,751	421,751
								140,047		551,739	581,739

Вариант1

Стоимость кредита PV=P(1 – 0,15)=255 тыс. руб.

Величина ежегодного платежа по формуле (2.8)

Эту же величину можно рассчитать с помощью функции ППЛАТ(0,05; 20; 255)= - 20,462 тыс. руб.

k=20

r=0,05

t=0

m=1

p=1

тип=0

Сколько же выплатят наши молодожены в течение 20 лет (считаем, что выплачивать они начинают с нуля, PV_в=0)? Наращенная стоимость всех платежей по формуле (2.4)

Будущее значения всех выплат по кредиту можно получить и с помощью финансовой функции

=БЗ(0,05;20;-20,462)=676,591 тыс. руб.

С учетом аванса молодожены в течение 20-ти лет должны будут выплатить сумму

S=676,591+45=721,591 тыс. руб.,

что на 421,591 тыс. руб. превышает первоначальную стоимость их квартиры.

Вариант 2

Поскольку p¹ m то по уравнению (2.16) ежемесячные выплаты составят

Стоимость кредита PV=P(1 – 0,15)=255 тыс. руб.

k=2

m=4

p=12

r=0,2

тип=0

Величина годового платежа

С= - 12,938·12= - 155,257 тыс. руб.

Наращенная стоимость финансовой ренты по формуле (2.15)

C учетом аванса владельцы квартиры должны будут вернуть строительной фирме сумму

S=367,751+45=421,751 тыс. руб.

Вариант 3

Стоимость кредита PV=P·(1-q)=300·(1-0,1)=270 тыс. руб.

За время отсрочки платежа t стоимость кредита вырастет по формуле сложных процентов PV₁=PV·(1+r/m)^m^·^t=270·(1+0,18/12)¹²=322,817 тыс. руб. Поскольку m=p, то ежемесячные платежи составят

k=3

t=1

m=12

p=12

r=0,18

Выплаты за год

С=-11,671·12= - 140,047 тыс. руб.

Наращенная стоимость финансовой ренты за три года

С учетом аванса владельцам квартиры придется выплатить строительной фирме

S=551,739+30=581,739 тыс. руб.

Анализ вариантов показывает, чем больше срок кредита, тем большую сумму придется выплачивать владельцам квартир даже при более низкой процентной ставке.

Задачи

2.1 На счет в банке вносится ежегодно постнумерандо сумма в 5000 долларов под 5% годовых. Какая сумма окажется на счете через 10 лет?

2.2 Рассматриваются две схемы вложения денег на 5 лет: в начале каждого года под 14% годовых или в конце каждого года под 18% годовых. Какая схема выгоднее?

2.3 Рассматриваются два варианта покупки квартиры: заплатить сразу 250 тыс. руб. или платить ежемесячно по 800 руб. в течение 10 лет при ставке 8% годовых?

2.4 За какой срок сумма в 50 тыс. руб. достигнет 100 тыс. руб. при начислении процентов два раза в году по годовой процентной ставке16%?

2.5 Ссуда 60 тыс. долларов, выданная под 6% годовых погашается ежеквартальными платежами по 8 тыс. долларов. Рассчитайте срок погашения ссуды.

2.6 Пенсионер накопил в банке к моменту выхода на пенсию 30000 рублей. В конце каждого месяца ему начисляют пенсию в размере 2000 руб. Банк обеспечивает по пенсионному вкладу 14% годовых. Сколько лет пенсионер сможет снимать со своего вклада в конце каждого месяца по 3000 рублей?

2.7 Вы берете в банке ипотечную ссуду на покупку квартиры 350000 рублей. Первый взнос составляет 15% от стоимости квартиры. Годовая ставка банка 6%. Срок погашения 10 лет. Каковы должны быть ежемесячные взносы в банк, общая сумма, которую Вам придется заплатить, и Ваша переплата банку?

2.8 Пенсия начисляется пенсионеру в начале каждого месяца в размере 1300 рублей на его р/с в банке. Какая сумма накопится через 5 лет, если банк обеспечивает14,5% годовых? Какая сумма накопилась бы у пенсионера, если бы он копил пенсию в укромном уголке?

2.9 Сколько денег нужно положить в банк сегодня, чтобы при ежемесячных вложениях по 500 рублей и процентной ставке 12% в год через 5 лет накопить сумму 50000 рублей?

2.10 Ваша фирма собирается дать кредит в размере 1 000 000 рублей сроком на 5 лет с ежегодным погашением по 200 000 руб. Под какой процент следует дать кредит, чтобы в конце срока получить обратно в общей сложности 1 500 000 рублей?

2.11 Родители оставили Вам наследство 50 000 рублей. Вы решили через 3 года накопить на автомашину 100 000 рублей. Вы вложили деньги в банк под 12% годовых. Какую сумму Вам необходимо вносит ежемесячно? Сколько лет Вам бы пришлось копить эти деньги дома?

2.12 Вы решили накопить в банке 300 000 рублей на квартиру. Вначале Вы внесли 50 000 рублей и можете вкладывать в банк ежемесячно по 8000 рублей. Банк имеет годовую процентную ставку 11%. Сколько времени Вам придется копить эти деньги? Сколько времени Вы копили бы деньги дома?

2.13 Фирма собирается взять кредит в размере $100 000 сроком на 7 лет на приобретение сырья. Требуется выбрать наиболее выгодный (эффективный) банк по минимальной величине отношения выплачено/получено из трех банков, имеющих следующие характеристики.

Банк	Выдача	Плата за оформление	Ставка (%)
Альфа	0,96	$350
Орион	0,955	$280	7,2
Стройбанк	0,95	$350

Какова переплата банку по возвращении кредита?

2.14 Фирма взяла в банке кредит в размере $200 000 сроком на 7 лет под 7,2% годовых. Определить ежегодные выплаты и составить таблицу погашения основного долга, выплат по процентам и остатка долга по годам. Построить график.

2.15 Для обеспечения будущих расходов создается фонд, средства в который поступают в виде постоянной годовой ренты в течение 3 лет. Размер ренты 2 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определите наращенную сумму.

2.16 Для обеспечения будущих расходов создается фонд, средства в который поступают в виде постоянной годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 1,5 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке16% годовых. Определите полученную сумму, пересчитанную к началу платежей.

2.17 Создается страховой фонд фирмы общей суммой10 млн. руб. Фонд должен быть создан в течение3 лет. Ежегодные платежи пренумерандо. Проценты начисляются 2 раза в год. Определите размер платежа и текущую стоимость суммы.

2.18 Пенсионер собирает деньги на покупку телевизора стоимостью 7000 руб. Для этого он вкладывает в банк ежемесячно в конце месяца по 200 руб. Номинальная процентная ставка банка - 16%. Начисление процентов ежемесячное. Сколько времени ему придется копить деньги? Сколько времени пенсионеру пришлось бы копить деньги, складывая их в банку из-под кофе?

2.19 В конце каждого месяца семья вкладывает в банк по 5000 руб. под номинальную процентную ставку 20%. Начисление процентов ежемесячное. Какой срок необходим для того, чтобы сумма сбережения стала достаточной для покупки легкового автомобиля стоимостью 250 тыс. руб.?

2.20 Какую сумму фирма должна ежемесячно переводить в банк постнумерандо, чтобы на ее счете через 2 года накопилась сумма 3 млн. руб.? Номинальная процентная ставка банка - 12% при ежеквартальном начислении процентов.

2.21 Продается здание сметной стоимостью 2,6 млн. руб. Продавец предлагает оплату равными месячными платежами в течение 2 лет. Начисление процентов ежемесячное, годовая процентная ставка 18%. Покупатель предлагает следующие условия: оплата равными квартальными платежами в течение 3 лет. Начисление процентов 2 раза в год под номинальную процентную ставку 16% годовых. Определите величину годовых платежей и общую наращенную сумму для обоих вариантов.

2.22 Фирма реализует автомобиль стоимостью 350 тыс. руб. Возможны следующие варианты оплаты:

1) аванс - 15%. Остаток стоимости - в кредит сроком на год под номинальную процентную ставку 20% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Равные платежи по кредиту производятся поквартально;

2) аванс - 20% стоимости. Возможна отсрочка платежей на 3 месяца. Кредит начисляется и выплачивается ежемесячно равными суммами в течение года. Годовая процентная ставка 22%;

3) аванс - 20% стоимости кредита. Кредит начисляется и выплачивается немедленно в течение 2 лет ежеквартально равными суммами. Годовая процентная ставка 24%; начисление процентов раз в полгода.

Рассчитайте финансовые последствия трех вариантов: аванс, разовые платежи, годовые платежи, общую сумму выплат.

2.23 Стоимость квартиры 250 000 руб. Начальный взнос составляет 25% от стоимости квартиры. Ипотечная ссуда выдана на 12 лет под процентную ставку 8%. Определите ежегодные выплаты по ссуде и сумму переплаты банку.

2.24 Продается складское помещение сметной стоимостью 350 тыс.. руб. Продавец предлагает оплату равными квартальными платежами в течение 1 года. Начисление процентов ежемесячное, годовая процентная ставка 15%. Покупатель предлагает следующие условия: оплата равными полугодовыми платежами в течение 2 лет. Начисление процентов 4 раза в год под номинальную процентную ставку 12% годовых. Определите величину годовых платежей и общую наращенную сумму для обоих вариантов.

2.25 Фирма реализует автомобиль стоимостью 500 тыс. руб. Возможны следующие варианты оплаты:

1) аванс - 25%. Остаток стоимости - в кредит сроком на 2 года под номинальную процентную ставку 15% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Равные платежи по кредиту производятся ежемесячно;

2) аванс - 20% стоимости. Возможна отсрочка платежей на 3 месяца. Кредит начисляется и выплачивается ежеквартально равными суммами в течение 3 лет. Годовая процентная ставка 12%.

Глава 3

ОБЩИЙ ПОТОК ПЛАТЕЖЕЙ