Определим наращенную сумму

Содержание

 

Введение. 6

Глава 1. 7

Одноразовые платежи.. 7

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 7

1.2 ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ... 8

1.3 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ... 10

1.3.1 Формула сложных процентов. 10

1.3.2 Определение будущей суммы.. 10

1.3.3 Определение текущей стоимости. Дисконтирование. 11

1.3.4 Определение срока ссуды (вклада) 12

1.3.5 Определение размера процентной ставки. 12

1.3.6 Номинальная и эффективная ставки. 13

1.4 НАЧИСЛЕНИЕ НАЛОГОВ И ПРОЦЕНТЫ... 14

1.5 ПРОЦЕНТЫ И ИНФЛЯЦИЯ.. 15

1.5.1 Основные понятия. 15

1.5.2 Учет инфляции. 16

Задачи. 18

Глава 2. 20

ПОСТОЯННЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.. 20

2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 20

2.2 БУДУЩАЯ СУММА ПРЕНУМЕРАНДО И ПОСТНУМЕРАНДО БЕЗ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ СУММЫ... 21

2.2.1 Рента пренумерандо. 21

2.2.2 Рента постнумерандо. 21

2.3 УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В ОБЩЕМ ВИДЕ.. 23

2.3.1 Определение будущей суммы.. 23

2.3.2 Определение текущей суммы.. 24

2.3.3 Определение периодических выплат. 24

2.3.4 Расчет срока ренты.. 25

2.3.5 Определение размера процентной ставки. 25

2.4 РЕШЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ФИНАНСОВЫХ ФУНКЦИЙ Excel 26

2.4.1 Общие рекомендации. 26

2.4.2 Вызов финансовых функций. 26

2.4.3 Вычисление будущего значения. 26

2.4.4 Расчет текущей суммы.. 27

2.4.5 Определение периодических выплат. 27

2.4.6 Расчет срока ренты.. 28

2.4.7 Определение размера процентной ставки. 28

2.5 ВЫБОР БАНКА КРЕДИТОВАНИЯ И СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА 29

2.5.1 Постановка задачи. 29

2.5.2 Выбор банка кредитования. 29

2.5.3 План погашения кредита. 30

2.6 ВЫПЛАТЫ p РАЗ В ГОДУ, А НАЧИСЛЕНИЕ процентов m РАЗ В ГОДУ.. 32

2.7 ВЫБОР ИПОТЕЧНОЙ ССУДЫ... 34

Задачи. 36

Глава 3. 39

ОБЩИЙ ПОТОК ПЛАТЕЖЕЙ.. 39

3.1 ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ.. 39

3.2 РЕГУЛЯРНЫЕ НЕ ПОСТОЯННЫЕ ПЛАТЕЖИ.. 39

3.2.1 Постановка задачи. 39

3.2.2 Наращенная сумма не постоянной ренты.. 39

3.2.3 Дисконтированная сумма не постоянной ренты.. 40

3.2.4 Внутренняя норма доходности. 41

3.2.5 Дисконтный срок окупаемости инвестиционного проекта. 42

3.2.6 Индекс доходности инвестиционного проекта. 43

3.2.7 Сравнение эффективности двух инвестиционных проектов при платежах m раз в году 43

3.3 НЕРАВНОМЕРНЫЕ И НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ.. 46

Сумма выплат, приведенная к моменту t₀ 46

3.4 БУДУЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ.. 47

Задачи. 48

Глава 4. 50

ОПЕРАЦИИ С ВЕКСЕЛЯМИ.. 50

4.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 50

4.2 ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ.. 50

4.3 УЧЕТ ВЕКСЕЛЕЙ ПО СЛОЖНОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ.. 52

4.4 ВЕКСЕЛЯ И ИНФЛЯЦИЯ.. 53

4.4.1 Простая учетная ставка и инфляция. 53

4.4.2 Сложная учетная ставка и инфляция. 54

4.5 ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕКСЕЛЕЙ.. 55

4.5.1 Определение стоимости объединенного векселя. 55

4.5.2 Определение срока погашения объединенного вектора. 56

4.5.3 Объединение векселей с учетом инфляции. 57

4.6 ЭФФЕКТИВНОСТЬ СДЕЛОК С ВЕКСЕЛЯМИ.. 58

4.6.1 Эффективность сделок по простым процентам.. 58

4.6.2 Эффективность сделок по сложным процентам.. 59

Задачи. 60

Глава 5. 62

АМОРТИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ И НЕМАТЕРИАЛЬНЫХ АКТИВОВ.. 62

5.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 62

5.2 ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ.. 62

5.3 НЕЛИНЕЙНЫЙ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИ-ДЕГРЕССИВНЫЙ МЕТОД УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ 64

5.4 ФУНКЦИИ Excel ДЛЯ РАСЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ.. 65

5.4.1 Линейный метод учета амортизации. Функции АМР. 65

5.4.2 Метод уменьшаемого остатка (геометрически - дегрессивный метод). Функция ДДОБ 66

5.5 СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО МЕТОДА УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ С МЕТОДОМ УМЕНЬШАЕМОГО ОСТАТКА (Расчет в Excel) 66

Задачи. 68

Глава 6. 69

ЛИЗИНГ. 69

6.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 69

6.1.1 Финансовый (капитальный) лизинг. 70

6.1.2 Оперативный лизинг. 70

6.2 СХЕМА ПОГАШЕНИЯ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ПО ЛИЗИНГОВОМУ КОНТРАКТУ.. 70

6.3 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ПЕРВОЙ СХЕМЕ.. 71

6.3.1 Лизинговые платежи при линейном законе амортизации. 71

6.3.2 Лизинговые платежи с ускоренной амортизацией (метод уменьшаемого остатка) 73

6.4 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ВТОРОЙ СХЕМЕ. 74

Следовательно, доход лизинговой компании. 75

6.5 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ВТОРОЙ СХЕМЕ С ПОМОЩЬЮ Excel 76

6.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИНАНСОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛИЗИНГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ.. 77

Задачи. 77

Список литературы.. 79

 

Введение

Финансовая математика является основой для банковских операций и коммерческих сделок. В предлагаемом пособии рассматривается начисление простых и сложных процентов при одноразовых платежах и потоках платежей, при постоянных и переменных рентах и ставках. Здесь излагается единый подход к решению широкого круга задач определения различных финансовых величин: будущей суммы сделки, текущей (дисконтированной) суммы, процентной ставки, выплат, срока сделки, ее эффективности и т. п. Учтено влияние инфляции на параметры финансовых операций. Формулы финансовой математики применяются в пособии для расчетов кредитных, депозитных, ипотечных операций, учетов векселей, для сравнения эффективности финансовых сделок. Чтобы были понятны операции по лизингу, в пособии излагаются различные методы учета амортизации.

Для изучения пособия достаточно знания школьной математики. Дан вывод всех формул.

По своей природе финансовые формулы, особенно для не постоянных и не равномерных платежей являются громоздкими, что затрудняет прямые расчеты по ним. Такие величины как процентная ставка или срок финансовой операции в общем случае не выражаются в явном виде. Для их определения необходимо решение нелинейного уравнения, например, методом итераций.

В Excel имеются встроенные финансовые функции, позволяющие легко вычислить все финансовые величины во многих практических случаях с помощью персонального компьютера. Поэтому в пособии подробно излагаются методы использования Excel для решения финансовых задач. Автор настоятельно рекомендует учащимся овладеть этими методами, чтобы в дальнейшем применять их в своей практической деятельности для анализа эффективности финансовых операций и работы своей фирмы.

В пособии приведено большое количество примеров, многие из которых представляют самостоятельную познавательную ценность. С целью закрепления теоретических знаний в конце каждой главы даны задачи для самостоятельной проработки.

Пособие "Финансовая математика" предназначено для заочников дистанционной формы образования, но может быть рекомендовано и студентам очной формы обучения по финансовым и экономическим специальностям. Пособие представляет практический интерес для работников банков, финансовых компаний, промышленных предприятий и коммерческих структур.

Принятая в пособии терминология может показаться непривычной для экономистов, воспитанных на книгах Е. М. Четыркина и его последователей. Например, процентная ставка обозначается у него буквой i (interest). Однако в математике буквой i принято обозначать целые величины (integer). Поэтому в пособии "Финансовая математика" введены обозначения, употребляемые в Excel и в [4].

Глава 1

Одноразовые платежи

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

В основе всех финансовых расчетов лежит принцип временной ценности денег. Деньги - это мера стоимости товаров и услуг. Покупательная способность денег падает по мере роста инфляции. Это означает, что денежные суммы, полученные сегодня (обозначим их PV -present value- настоящее, текущее значение), больше, ценнее тех же сумм, полученных в будущем. Для того чтобы деньги сохраняли или даже наращивали свою ценность, нужно обеспечить вложение денег, приносящее определенный доход. Принято обозначать доход буквой I (interest), на финансовом и бытовом жаргоне его называют процентом.

Существует много способов вложения (инвестиции) денег.

Можно открыть счет в сберегательном банке, но процент должен превышать темп инфляции. Можно одолжить деньги в виде кредита с целью получения в будущем, так называемой, наращенной суммы FV (future value - будущее значение). А можно инвестировать денежные средства в производство.

Простейшей финансовой операцией является однократное предоставление или получение суммы PV с условием возврата через время t наращенной (будущей) суммы FV. Сумму, которую получает дебитор (например, мы с Вами или фирма), будем считать положительной, а ту, которую отдает кредитор (опять же мы с Вами или банк) - отрицательной.

FV

I

Схема операции

 

 

 

с точки зрения дебитора: он берет сумму PV с тем, чтобы через время t вернуть ее с процентами.

с точки зрения кредитора: он отдает сумму PV с тем, чтобы через время t получить ее с процентами.

 

Эффективность такой операции характеризуется темпом прироста денежных средств, отношением r (rate-отношение) дохода I к базовой величине PV, взятыми по абсолютной величине.

. (1.1)

Темп роста капитала r за время t выражают десятичной дробью или в процентах и называют процентной ставкой, нормой доходности или скоростью оборота денежныхсредств за это время.

Поскольку PV и FV имеют противоположные знаки, то настоящее и будущее значения связаны соотношением (назовем его уравнением эквивалентности)

 

FV+ PV (1+r) = 0, (1.2)

 

где r - процентная ставка за время t.

Величину К, показывающую, во сколько раз будущая сумма возросла по абсолютному значению по отношению к текущей

К= FV/ PV=(1+r), (1.3)

называют коэффициентом наращения капитала.

В расчетах, как правило, за r принимают годовую процентную ставку, ее называют номинальной ставкой.

Существуют две схемы наращения капитала:

· схема простых процентов;

· схема сложных процентов.

 

ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

 

Схема простых процентов предполагает неизменность суммы, на которую происходит начисление процентов. Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях (со сроком менее периода начисления процентов) или когда проценты периодически выплачиваются и не присоединяются к основному капиталу.

Рассмотрим два вида вклада: постой и срочный.

1) По простому вкладу (деньги по такому вкладу можно снять в любой момент) за t дней будет начислено

FV+ PV (1+ r) = 0 (1.4)

где Т - число дней в году. Коэффициент наращения при этом

К=(1+ r).

В зависимости от определения Т и t применяют следующие методики.

1. Точные проценты. В России, США, Великобритании и во многих других странах принято считать Т =365 в обычном году и Т =366 - в високосном, а t -число дней между датой выдачи (получения) ссуды и датой ее погашения. Дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

2. Банковский метод. В этом методе t определяется как точное число дней, а число дней в году принимается за 360. Метод дает преимущества банкам особенно при выдаче кредита на срок более 360 дней и широко используется коммерческими банками.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней. В некоторых странах, например во Франции, Бельгии, Швейцарии принимают Т =360, а t -приближенным, так как считается, что в месяце 30 дней.

 

	Пример 1.1 Фирма взяла ссуду в банке на расширение производства в размере 1 млн. руб. под 18% годовых с 20.01 по 05.10 включительно. Какую сумму она должна вернуть в конце срока при начислении процентов один раз в год? Определите коэффициент наращения. Решение. Пусть год не високосный Т=365. Точное число дней между указанными датами t =258, а приближенное - t=255. 1. Из (1.4) по точному методу получим FV= -1 000 000(1+ 0,18)= -1 127 233 руб. Итак, в конце срока фирме придется отдать (FV отрицательно) на 127 233 руб. больше, чем она брала. Коэффициент наращения в этом случае К=(1+ 0,18)=1,1273 2. По банковскому методу FV= -1 000 000(1+ 0,18)= -1 129 000 руб. К=(1+ 0,18)=1,129
	3. По обыкновенному методу с приближенным числом дней FV= -1 000 000(1+ 0,18)= -1 127 500 руб. К=(1+ 0,18)=1,1275   Как видно из примера, при банковском методе расчета банку удастся больше "поживиться" за счет фирмы.

 

2) По срочному вкладу (деньги кладутся в банк на определенный срок: полгода, год или другой) проценты начисляются через определенные периоды. Обозначим
m -число периодов в году.

m =12 - при ежемесячном начислении процентов;

m =4 - при ежеквартальном начислении;

m =2 - при начислении раз в полугодие;

m =1 - при начислении раз в год.

В этом случае процентная ставка за один период составит величину , и уравнение эквивалентности запишется в виде

FV + PV (1+ ) = 0 (1.5)

Коэффициент наращения

К=(1+ ).

Определим наращенную сумму

Пример 1.2 Пенсионер положил 3000 руб. на срочный пенсионный вклад на полгода под 14% годовых. Какая сумма у него накопится в конце срока, и какой процент он сможет снять? Каков коэффициент наращения? Решение. Поскольку пенсионер отдал свои деньги банку, то первоначальная сумма отрицательна; m =2, так как начисления - раз в полгода. FV = -(-3000)(1+0,14/2)=3210 руб. I= FV- PV=210 руб. К=1+0,14/2=1,07

 

По формулам (1.2)-(1.5) можно решить обратную задачу: какую первоначальную сумму PV нужно дать в долг или положить в банк, чтобы по истечении срока получить сумму FV при заданной годовой процентной ставке r:

.

	Пример 1.3 Через 180 дней после подписания договора фирма обязуется уплатить 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма кредита? Решение. В конце срока фирма должна вернуть деньги, следовательно, будущая сумма - отрицательная величина, а первоначальная - положительная. Из (1.5)

 

СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Формула сложных процентов

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, таким образом, базовая сумма, с которой происходят начисления, постоянно растет. Сложные проценты применяются в среднесрочных и долгосрочных финансовых операциях, то есть срок операции составляет несколько периодов начисления процентов.

Пусть Вы положили в банк срочный вклад в сумме PV на k лет под годовую процентную ставку r. Число периодов начисления процентов в году m.Тогда в соответствии с формулой (1.4) к концу первого периода, т.е. после первого начисления процентов, у Вас окажется сумма FV, определяемая соотношением

FV + PV (1+ ) = 0.

Если Вы не забрали причитающиеся Вам проценты, то к началу нового периода первоначальная сумма составит уже PV(1+r/m), а к концу второго периода на нее снова нарастут проценты и Ваша сумма вклада будет определяться из соотношения

и так далее.

К концу года Ваш вклад будет равен

.

Сумма, накопленная Вами в банке через k лет при годовой ставке r и начислениях процентов m раз в году, составит

 

 

(1.6)

 

 

Эквивалентное уравнение (1.6) называют формулой сложных процентов.

Из уравнений (1.4) - (1.6) можно определить одну из величин:

FV - будущую сумму;

PV - текущую сумму;

r - номинальную процентную ставку;

t или k - срок сделки в днях или годах,

выразив их через остальные известные величины.

 

Определение будущей суммы

 

 

Очевидно, что во всех случаях банк вносит немалую лепту (больше 38 тыс. руб.) в Ваш будущий вклад.

Как видно из примера, чем меньше период начисления процентов при той же годовой процентной ставке, тем выгоднее вклад.