П. 1. 1. Предмет теории вероятностей

Содержание

Введение......................................................................................................................4

Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

1.1 Предмет теории вероятностей............................................................................5

1.2 Общие правила комбинаторики.........................................................................6

1.3 События и их классификация.............................................................................8

1.4 Относительная частота событий и ее свойства.................................................9

1.5 Вероятность события и их свойства.................................................................10

1.6 Теоремы сложения и умножения......................................................................12

1.7 Теорема полной вероятности события. Формула Байеса...............................15

1.8 Задачи, проводящие к определению частоты появления события

в независимых испытаниях. Формула Бернулли..............................................17

1.9 Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа.....................................20

1.10 Выводы.............................................................................................................22

Глава 2. Случайные величины

2.1. Примеры случайных величин, взятых из сельскохозяйственного производства..............................................................................................................................23

2.2 Дискретная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики.......................................................................................................................24

2.3 Биномиальное распределение............................................................................28

2.4 Распределение Пуассона.....................................................................................28

2.5 Непрерывная случайная величина. Интегральная функция (закон) распределения...........................................................................................................................29

2.6 Дифференциальная функция распределения...................................................30

2.7 Числовые характеристики непрерывной случайной величины.....................32

2.8 Примеры, приводящие к понятию нормального распределения. Нормальное распределение...........................................................................................................33

2.9 Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.................................................................35

2.10 Понятие о законе больших чисел...................................................................36

2.11 Выводы..............................................................................................................37

Вопросы для самопроверки и упражнения............................................................39

Заключение................................................................................................................45

Список использованной литературы......................................................................46

 

 

Введение

Настоятельная необходимость совершенствования учебного процесса в высшей школе требует перехода от информационно-сообщающего обучения к обучению, моделирующему и формирующему навыки будущей профессиональной деятельности, перехода на активные формы, позволяющие готовить специалиста, способного быстро адаптироваться к изменяющимся производственно-экономическим условиям, видеть проблемы и направления развития отрасли, профессионально разрабатывать и принимать оптимальные альтернативные решения. В значительной степени реализовать такой подход позволяет модульная система обучения.

Это дидактическая система обучения, которая представляет собой совокупность различных форм и способов совместной деятельности преподавателей и студентов, организованной в особых единицах процесса обучения с целью максимального овладения программным материалом и повышения качества подготовки специалиста.

Модуль – основная организационно-содержательная единица МСО, охватывающая учебный материал, имеющий относительно самостоятельное значение и включивший в себя, как правило, несколько близких по содержанию тем или разделов курса.

Данная учебно-методическая работа написана в соответствии с государственным стандартом и модульной системе обучения. Предназначена для студентов нематематических специальностей аграрного университета обучающихся по модульной системе.

 

Элементы теории вероятностей.

Глава 1

Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

В главе дано определение теории вероятностей как науки, приведены различные определения вероятности, простейшие свойства вероятности и методы ее вычисления.

 

п. 1.1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Многие явления в окружающем нас мире - в природе, технике, сельском хозяйстве и в других областях знаний носят случайный характер, а именно, если явление наблюдать один раз, то нельзя точно предсказать, как оно будет протекать. Но если это явление наблюдать многократно при неизменных условиях, то оказывается, что явление (его протекание) можно описать с помощью чисел, т. е. количественно.

Так, например, если подбрасывать монету один раз, то нельзя предсказать, что выпадает - «герб» или «цифра»; при посадке одного дерева нельзя заранее утверждать, что оно приживется; посеянное зерно может дать всход, а может и не взойти.

Однако если наблюдение повторять много раз, то можно заметить закономерность: при подбрасывании монеты отношение числа выпаданий «герба», к общему числу подбрасываний мало отличается от ¹/₂, и чем больше число подбрасываний, тем ближе это отношение к ¹/₂. При посеве зерен отношение числа зерен, давших всходы, к общему числу посеянных с возрастанием их числа будет мало отличаться от некоторого постоянного числа. Отношение числа прижившихся саженцев к общему числу посаженных с возрастанием числа саженцев будет также мало отличаться от некоторого постоянного числа. О результатах подобных наблюдений говорят, что они обладают статистической устойчивостью.

Теория вероятностей дает математические модели для описания случайных явлений такого рода, а именно, явлений, которые могут быть воспроизведены при неизменных условиях сколь угодно много раз и обладающих свойством статистической устойчивости.

В задачах, связанных, например, с посадкой деревьев или с высевом семян, допущение о неизменности условий состоит в том, что саженцы и семена абсолютно одинакового качества, высаживаются в одинаковых условиях; различие в качестве, условиях посадки и произрастания не учитываются, т. е. считаются не существенными. В действительности и качество семян, и саженцев, и условия их посева, и произрастания одинаковыми не бывают.

При подбрасывании монеты предполагаются только два возможных исхода - выпадание «герба» или выпадание «цифры»; возможность падения монеты на ребро или возможность ее исчезновения в результате испытания не учитывается.

При такой постановке вопроса выводы, полученные в результате изучения моделей, будут отражать особенности явления лишь в главном, а при решении прикладных задач ответ на поставленный вопрос будет приближенным в той мере, в какой реальное явление отличается от его модели.

Теперь можно дать следующее определение.

Теория вероятностей - математическая наука о количественных закономерностях моделей случайных явлений независимо от их конкретной природы.

Основы теории вероятностей необходимо знать специалистам, работающим в областях, где очень многие явления и процессы подвержены случайным воздействиям.