Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без урахування опору повітря

Інтерес до проблеми руху кинутого тіла зародився в ХVI столітті і пов'язаний з тими обставинами, що європейські армії оснащали гарматами, які могли стріляти на великі відстані, на відміну від стрільби з баліст та луків. Природньо, виникає задача про знаходження балістичної кривої, тобто траєкторії снаряда в пустоті або в повітрі - без цього неможливо знайти дальність польоту снаряда, скласти таблицю наводки для попадання в ціль. Ця задача, що є типовою задачею динаміки, стимулювала необхідність розробки методів вивчення руху тіл під дією заданих сил.

Цю задачу намагався розв'язати ще Арістотель (389-322 р. д. н.е.), який в силу поглядів, що склалися на той час на проблему руху, думав, що кинуте до горизонту тіло, спочатку рухається по похилій прямій, а потім по дузі кола і в кінці по вертикальній прямій.

Італійський вчений Г.Галілей (1564-1642) також займався вивченням теорії тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Галілей припустив, що рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, складається з рівномірного прямолінійного руху, який був би таким якщо не було б сили тяжіння та вільного падіння. В результаті тіло рухається по параболі. Користуючись властивостями параболи, Галілей склав "таблицю для стрільби", що мала на той час важливе практичне значення.

Розглянемо задачу про рух тіла, кинутого під кутом до горизонту в сучасній трактовці.

Матеріальна точка (тіло) масою т кинута з поверхні Землі з початковою швидкістю , що спрямована під кутом до горизонту. Припускаючи, що сила тяжіння стала, та нехтуючи опором повітря, визначити:

1) закон руху точки;

2) траєкторію точки;

3) висоту польоту точки при даному куті ;

4) кут , за якого висота польоту точки буде максимальною;

5) дальність польоту точки при даному куті ;

6) кут , за якого дальність польоту буде максимальною.

Зобразимо точку М на траєкторії та покажемо діючі на неї сили: в даному випадку на точку діє тільки одна сила - сила тяжіння

Початок координат розмістимо в початковому положенні точки. Спрямуємо вісь Х по горизонталі праворуч, а вісь Y по вертикалі вгору, як наведено на рисунку 4.2.

Запишемо векторне рівняння руху точки:

. Спроектуємо рівняння на осі вибраної системи координат:

;

Рисунок 4.2. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без урахування опору повітря.

В системі відліку 0ХY початкові умови руху точки при t = 0 будуть:

, ;

, .

Розділимо змінні в диференціальних рівняннях руху точки та проінтегруємо їх:

, ; , .

Використовуючи початкові умови, визначаємо сталі с₁, та с₂

, ;

, .

Підставимо значення с₁ та с₂ в знайдені вище рівняння:

, .

Інтегруючи ці рівняння отримаємо:

, , ;

, , .

Підстановка початкових умов: при t = 0, х = х₀ = 0, у = y₀ = 0, дає с₃ = c₄ = 0.

Знаходимо закон руху точки в кінцевій формі:

, .

З аналізу рівнянь , витікає наслідок: проекція швидкості точки М на горизонтальний напрямок величина стала, а горизонтальне переміщення тіла відбувається за законом рівномірного руху з швидкістю , тобто за інерцією.

Рівняння та показують, що вертикальне переміщення тіла є рівноперемінним. При підйомі воно уповільнене тому, що напрямок вертикальної складової швидкості та прискорення g протилежні, а при опусканні - прискорене тому, що ці напрямки співпадають.

Визначимо рівняння траєкторії точки. Виключаючи з останых рівнянь час t отримаємо рівняння траєкторії точки в формі, що вміщує тільки координати точки.

Тоді

Позначивши

, ,

отримаємо:

Таким чином, це рівняння являє собою рівняння параболи з віссю, що паралельна осі ОY з вершиною в найвищій точці. Форма траєкторії точки, що рухається в пустоті під дією сили тяжіння, була вперше встановлена Галілеєм.

Найбільшу висоту польоту можна отримати з умови, що в найвищій точці проекція швидкості на вертикальну вісь дорівнює нулю

звідси

Тоді, підставивши значення t,отримаємо:

З цього рівняння витікає наслідок: висота польоту буде максимальною при

Визначаємо горизонтальну дальність польоту, для цього вводимо до рівняння траєкторії координати точки А (х = L, у = 0) в якій траєкторія пересікає вісь Х. Тоді отримаємо: