Рух тіла під дією сили, що залежить від швидкості

 

Розглянемо рух тіла, яке падає в повітрі до Землі. На тіло буде діяти сила опору повітря, яка лінійно залежить від швидкості, як наведено на рисунку 3.3. Нехай тіло М рухається з точки О униз. В початковий момент швидкість дорівнює нулю. Вага тіла - G. Сила опору повітря залежить від швидкості падаючого тіла та дорівнює за модулем , де - коефіцієнт пропорційності. Зобразимо тіло М в довільному стані та покажемо сили, діючі на нього.

Рисунок 3.3. Рух тіла під дією сили, що залежить від швидкості.

 

На тіло, що рухається, будуть діяти: стала сила тяжіння , спрямована по вертикалі донизу та сила опору повітря , спрямована по вертикалі вгору.

Записуємо рівняння руху тіла в векторній формі:

 

.

 

Проектуємо векторне рівняння руху тіла на вісь Y:

 

, .

 

Поділимо всі члени рівняння на т:

,

де .

Коефіцієнт k дорівнює модулю сили опору повітря, що припадає на одиницю маси тіла, яке рухається, при швидкості рівній одиниці, та має розмірність .

Таким чином, для того, щоб визначити закон руху тіла М необхідно розв'язати диференціальне рівняння другого порядку:

.

Так як

, тоді .

 

Розділяємо змінні в цьому рівнянні:

 

, або .

 

Введемо нову змінну u:

 

, тоді , .

 

Замінюючи змінну, отримаємо:

, або .

Інтегруючи останнє рівняння, отримаємо:

, . або .

Визначимо сталу інтегрування с₁, використовуючи початкові умови: при t = 0, :

, .

 

При знайденому значенні с₁, рівняння має вигляд:

 

, або .

 

Потенціюючи цей вираз, визначимо залежність швидкості падіння тіла від часу:

 

, , .

 

Проаналізуємо це рівняння: при збільшенні часу падіння тіла до нескінченності, е^-kt прагне до нуля, а швидкість падіння тіла наближається до кінечної величини:

.

 

Через деякий кінечний проміжок часу рух тіла стає рівномірним. При швидкості тіла сила опору стає рівною силі тяжіння тіла:

 

, , оскільки , тоді .

 

Для визначення залежності координати Y від часу, запишемо рівняння залежність швидкості падіння тіла від часу у вигляді:

 

.

 

Розв'язавши це диференціальне рівняння, отримаємо необхідний результат.

Розділимо змінні у рівнянні:

 

,

 

і проінтегруємо

 

.

 

Для визначення сталої с₂, в останнє рівняння підставимо початкові умови: при t = 0, у = 0.

; .

 

При знайденому значенні с₂ рівняння набуває вигляду:

 

, .

ЛЕКЦІЯ 4

 

ОКРЕМІ ВИПАДКИ ІНТЕГРУВАННЯ РІВНЯНЬ РУХУ ТОЧКИ

(продовження)

План.

 

4.1. Рух тіла під дією сили, що залежить від положення тіла.

4.2. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без урахування опору повітря.